Dybde

Brug s=½g*t²

#1:  Hvis man nu anvender formlen, men "gætter" tilfældigvis på at bolden rammer vandet efter T_fald = 3,79 sek., finder man dybden til 70,53 m.

Lyden fra plasket bevæger sig nu op gennem brønden i løbet af tiden:  T_lyd = 70,53m / 340 m/s = 0,21s.

T_fald + T_lyd = 3,79s + 0,21s = 4,00s

Plasket fra brøndens dyb høres netop på brøndens top efter denne tid.

Hvordan har du 'gættet' dig frem til 3,79 s? 

#3: Jeg starter med 4 sek, og finder af formlen i #1:

s = ½*9,82*4² = 78,56m    =>  T_lyd = 78,56 / 340 = 0,231s  =>  T_fald = 4 - 0,231s = 3,769s

Derefter anvendes den nye T_fald iterativt, og finder:

s = 69,746m     =>  T_lyd = 0,2051s   =>   T_fald = 3,795s     =>

s = 70,709m     =>  T_lyd = 0,208s     =>   T_fald = 3,792s     =>

s = 70,624m    =>           ? ?           =>            ? ?              ( stopper iterationen her ).

I praksis, og med lidt erfaring, kan man nemt opstille sådanne iterationer, og kan gennemskue, om de konvergerer ( hurtigt ) mod bestemte værdier.

Din lommeregner anvender formodentlig, ved uddragning af kvadratrod:  y = √x , iterationen

y_n+1 = ( x / y_n + y_n ) / 2

Du kan prøve at finde  √9, hvor du "gætter"  y_n = 4.  Du finder hurtigt  y_n+4 = 3,00000 . . . .

Hvad er Tlyd og Tfald? hvad står T'et for?

T står for tid ( for boldfald og lydudbredelse ).

Hvor får du 70,53 m fra? 

#7: Den kommer du frem til, hvis du fortsætter iterationen et par trin mere end de 4 viste i  #4.  ( Cirka ).

Husk, at øge antallet af betydende cifre, som iterationen nærmer sig en bestemt værdi.

Det er da en frygtelig masse udregninger og problemer der er kommet ud af at bruge #2 i stedet for #1

Jeg har også valgt at bruge #1 og får derved brøndens dybde til at være 78,56 m. 

I #2 og #4 forsøger hesch at tage med i betragtning, at det også tager tid for lydsignalet at bevæge sig fra bunden af brønden op til iagttageren, hvilket er ganske udmærket, men det er der vel ikke grund til at gøre til en iterativ proces?

Hvis brøndens dybde er s er faldtiden T_fald bestemt ved s = (1/2)g·T_fald² , mens tiden for lydsignalets rejse tilbage til brøndens top er T_lyd = s/v_lyd , dvs

T_obs = T_fald + T_lyd = (2s/g)^1/2 + s/v_lyd .

Vi har dermed

(T_obs - s/v_lyd)² = 2s/g ,

dvs

(1/v_lyd)²·s² -2(T_obs/v_lyd + 1/g)·s + T_obs² = 0 ,

eller

s² -2(T_obs + v_lyd/g)·v_lyd·s + (T_obs·v_lyd)² = 0

hvoraf man finder

s = (T_obs + v_lyd/g)·v_lyd - v_lyd·[(v_lyd/g)·(v_lyd/g + 2T_obs)]^1/2

og med T_obs = 4 s , g = 9,82 m/s² , v_lyd = 340 m/s fås så

s = 70,61 m

Jeg er ret sikker på at opgavestilleren ikke havde tænkt sig at man skal tage hensyn til lydens hastighed

#12:  Det er vist det, man kalder dømmekraft.

Men hvorfor formulerer opgavestilleren ikke spørgsmålet:

. . . . han hører et plask . . .    →   . . . . bolden rammer vandet . . . .    ? ?

#11:  Denne T_fald = 3,79s i  #1, fremkom rent faktisk ved lidt hurtigt gætteri, som man dog ikke dermed skal betragte som helt tilfældigt.

Så kom spørgsmålet i  #3:  hvordan man "gætter" sig frem til det ?  Og det kan være lidt vanskeligt at forklare, med mindre man griber til lidt systematik, i form af en iteration, der kan forklares. ( #4 )

Derfor iteration, som jeg iøvrigt ikke har noget principielt imod.

Jeg har heller ikke principielt imod iteration. Jeg har faktisk beskæftiget mig en hel del med numerisk analyse. Til gengæld er jeg blevet meget opmærksom på, at der fælder i brugen. Metoderne fungere ikke altid. Jeg har været ude for at ingeniører er kommet med uholdbare konklusioner på grundlag af numerisk analyse. Jeg har også været ude for at ingeniører i et program har indlagt en algoritme, hvor forudsætningerne ikke holdt. Der var ikke noget i vejen for, at programmet kørte i flere år og så pludselig ikke brød ned til stor frustration for brugeren.

Hvis gymnasieelever ikke har lært om numeriske metoder, skal man heller ikke brug det overfor dem. De vil simpelthen ikke fatte hvad det drejede sig om