Lidt mat hjælp

Kunne vi få opgaveformuleringen hørende til omtalte opgave?

"Ekstra spørgsmål:
Er definitionsmængder altid på interval form?"

Hvis du tænker på definitionsmængder for løsninger til begyndelsesværdiproblemer, så kan du roligt gå ud fra, at det er tilfældet. Det følger jo af eksistensudsagnet i sætningen om eksistens- og entydighed af en løsning til begyndelsesværdiproblemet.

//Epsilon

Selvfølgelig kan I det.

"En funktion f er løsning til differentialligningen

dy/dx = (y/ln(y))*(x+2) , y>1

og grafen for f går gennem punktet P(2,e)

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

Bestem forskrift og definitionsmængde for f"


En anden opgave er præcis samme måde med differentialligningen dy/dx = 1/x*y , x>0 hvor punktet P istedet er P(1,-2). Her har jeg sagt definitionsmængde er x>=(e^-2), men det skal så være x E [(e^-2); undelig[ ?

#2:
En ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,e) ses at være

y = (4e)x - 7e

Højre side i differentialligningen er et produkt af en funktion af x alene og en funktion af y alene; den er med andre ord separabel. Separerer man de variable og integrerer venstre side via substitutionen t = ln(y), ledes man til

ln(y)^2 = x^2 + 4x + C

for en integrationskonstant, C, som fastlægges af P(2,e). Man finder, at

C = 1 - (2^2 + 4*2) = -11.

Eftersom

y > 1 <=> ln(y) > 0 => ln(y)^2 > 0,

må det kræves, at

ln(y) = sqrt(x^2 + 4x - 11)

samt, at x^2 + 4x - 11 > 0. Man ser, at rødderne x' i polynomiet

p(x):= x^2 + 4x - 11

er x' = -2 ± sqrt(15) og dermed, idet koefficienten til x^2 er positiv, at

p(x) > 0 <=> x < -(2 + sqrt(15)) v x > -2 + sqrt(15)

Da det endvidere forlanges, at integralkurven skal være kontinuert og differentiabel i et så stort interval som muligt indeholdende P(2,e), må

x > -2 + sqrt(15),

Forskrift og definitionsmængde for f er således

f(x) = exp{sqrt(x^2 + 4x - 11)}, x > -2 + sqrt(15).

(Alternativt: x E ]-2 + sqrt(15); infty[).

På tilsvarende vis, ved at benytte de relevante restriktioner, deducerer man i den anden opgave, at

y = (-1/2)x - 3/2

er en ligning for tangenten i P(1,-2), og endvidere er

f(x) = -sqrt(2ln(x) + 4), x > e^(-2)

den søgte partikulære løsning.

Vær opmærksom på, at definitionsintervallerne er _åbne_.

//Epsilon

Er du sikker på den sidste?
Jeg får det til f(x) = -sqrt(2*(ln(x)+2))
og hvordan får du det til et åbent interval i den opgave?

Ellers er jeg helt med på den første :)

#4:
Tja, det er da det samme, som jeg har skrevet i #3, thi

2*(ln(x) + 2) = 2ln(x) + 4.

Du har blot faktoriseret '2' uden for parentes.

For at indse, at definitionsintervallet også i dette tilfælde er åbent, betragt da

y^2 = 2ln(x) + 4,

hvortil man kommer ved at separere, integrere samt benytte P(1,-2).

Vi har som udgangspunkt forudsat, at y != 0, og da det endvidere forlanges, at integralkurven (løsningskurven) skal være kontinuert og differentiabel i et så stort interval som muligt indeholdende P(1,-2), må

y < 0

og dermed er y^2 = 2ln(x) + 4 > 0.
Vi får altså, at

ln(x) > -2 <=> x > e^(-2)

og således, at forskrift og definitionsmængde for f er

f(x) = -sqrt(2ln(x) + 4), x > e^(-2).

//Epsilon

Ahh, det er fordi nævneren i differentialligningen ikke må give nul. Så forstår jeg.
Tusind tak for hjælpen!

#6: Velbekomme.

//Epsilon