Matematik

Monotoniforhold

05. december 2005 af Roza (Slettet)

Hej! en funktion f(x)=(x-2)/(x2-1, bestem monotoniforhold. Jeg har fundet f'(x), men jeg er i tvivl hvordan jeg laver fortegnsvariation.
Er der en der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. december 2005 af sigmund (Slettet)

Find rødderne i ligningen f(x)=0, og se på fortegnet af hhv. f(x) og f'(x) mellem rødderne.

Svar #2
05. december 2005 af Roza (Slettet)

Røderne i tæller og nævner ved jeg, men når jeg skal lave fortegnsvariation skal jeg jo sætte nogle tal ind i funktionen for at se om det er plus eller minus-skal jeg så både gøre det i tæller og nævner.

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. december 2005 af sigmund (Slettet)

Du skal ikke dele funktionen op i tæller og nævner. Ligningen f(x)=0 har kun en rod, netop når tælleren er nul, dvs. x-2=0 <=> x=2.

Svar #4
05. december 2005 af Roza (Slettet)

Skal jeg så også kun rødder i tælleren når jeg har differentieret funktionen?
Og derefter lave fortegnsvariation for de x-værdier jeg får?

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. december 2005 af fixer (Slettet)

#2 Ved evaluering af funktionsværdier skal du naturligvis erstatte x med den aktuelle værdi overalt i funktionsforskriften.

Til bestemmelse af monotoniforholdene betragtes udelukkende fortegnsvariationen for f'. Derfor ledes man naturligt til at løse ligningen

f'(x) = 0 (*)

thi denne ligning udtrykker formelt betingelsen for at f'(x) kan skifte fortegn. Løsningerne til (*) afslører nogle intervaller indenfor hvilke f' har konstant fortegn og hvor f altså vil være enten voksende (f'(x) > 0) eller aftagende (f'(x) < 0). Hvorvidt f'(x) > 0 eller f'(x) < 0 i disse intervaller bestemmes ved indsættelse af punkter x tilhørende disse intervaller i forskriften for f'(x).

Svar #6
05. december 2005 af Roza (Slettet)

Rødderne i f'(x) har jeg fået til at være X=0,26 og x=3,73.
Fortegnsvariation:

x
------|-------|-------|-----
f'(x)

Svar #7
05. december 2005 af Roza (Slettet)

Rødderne i f'(x) har jeg fået til at være X=0,26 og x=3,73.
Fortegnsvariation:

x
------|-------|-------|-----
f'(x)

Svar #8
05. december 2005 af Roza (Slettet)

Hovsa..
her er fortegnsvariationen:

x 0,29 2 3,73
------|-------|-------|-----
f'(x) - - + -

kan det passe?

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. december 2005 af fixer (Slettet)

Vi må have oplyst om f(x) givet ved

f(x) = (x-2)/(x^2-1)

-det fremgår ikke klart af #0. I bekræftende fald er dine løsninger til ligningen f'(x)=0 formodentligt korrekte. De eksakte løsninger er

x = 2 +/- sqrt(3)

#6-#7 mangler at få påtegnet fortegnsvariationen for f'.

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. december 2005 af fixer (Slettet)

#8 Ser rimeligt ud, dog skal du huske at hverken f eller f' er definerede for x=1 eller x=-1, altså Dm(f) = Dm(f') = R\\{-1,1}.

Man har

f'(x) = (-x^2+4x-1)/(x^2-1)^2

For alle x E Dm(f) er nævnerpolynomiet positivt. Fortegnet for f' bestemmes derfor udelukkende af fortegnet for tællerpolynomiet. Grafen for dette fremstiller en parabel med grenene nedad, derfor antager det positive værdier mellem nulpunkterne, negative udenfor.

Svar #11
05. december 2005 af Roza (Slettet)

Tak for hjælpen

Skriv et svar til: Monotoniforhold

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.