Matematik

Diff. af cos og tan!

06. december 2005 af | Sveegaard | (Slettet)

Hejsa

"Skitser graferne for tanx og cosx, og betsem x-koordinaten til det skæringspunkt P, der ligger i [0;½pi]. Bestem den eksakte værdi af hældningskoefficienten for tangenten til grafen for cosx i P. Beregn endelig vinklen mellem tangenterne i P".

Jeg er helt lost i denne opgave, jeg kan faktisk kun lige optegne graferne!

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2005 af lany (Slettet)

For at finde skæringspunktet skal du løse ligningen: tan(x)=cos(x). Det kan gøres på følgende måde:

tan(x)=cos(x), idet tan(x)=sin(x)/cos(x)
sin(x)/cos(x)=cos(x) gang med cos(x)
sin(x)=cos(x)^2
sin(x)=1-sin(x)^2 benyt "idiotformlen"
sin(x)^2+sin(x)-1=0

Sæt nu u=sin(x) og løs 2.gradsligningen

u^2+u-1=0

Løs denne ligning vha løsningsformlen.

Når du har gjort det, finder du x=sin^-1(u). Der er to løsninger - overvej hvilket interval, du arbejder med.

Hældningskoefficienten i P findes ved at differentiere f(x)=cos(x), og indsætte den løsning, man finder i første spørgsmål... Måske du selv kan komme videre herfra.

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. december 2005 af Epsilon (Slettet)

Du kan vel nok bestemme skæringspunktet P mellem graferne for cos(x) og tan(x) i [0,pi/2]?

Løs ligningen

cos(x) = tan(x), x E [0,pi/2],

idet du benytter definitionen af tangens.

Eftersom du skal bestemme den eksakte værdi af hældningen for tangenten til grafen for cos(x) i P, er det tilrådeligt at bestemme x-koordinaten til P eksakt.

Forklar, hvilke konkrete overvejelser du har gjort i det sidste spørgsmål.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#1:
Hvilke to løsninger snakker du om?

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. december 2005 af lany (Slettet)

#3: Var jeg for hurtig på aftrækkeren? Der er vist to løsninger til den 2.gradsligning, jeg har skrevet op, derfor finder man to værdier af x, men den ene kan ikke bruges. Det var min umiddelbare indskydelse, men jeg har ikke tænkt mere over opgaven. Er der forresten en anden løsning end den jeg har skitseret, så vil jeg gerne høre om den.

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. december 2005 af lany (Slettet)

Jeg bør nok være lidt mere præcis, så der ikke opstår misforståelser, men det er altid en kunst at give gode råd uden at afsløre det hele.....

Man får to værdier af u, hvilket dog resulterer i én værdi af x, og den værdi bliver

x=sin^-1(-1/2+(5)^(1/2)/2)~0,6662394

hvilket også kan aflæses på grafregneren.

Derfor bliver hældningen af tangenten i skæringspunktet:

f'(x)=-sin(x)
f'(sin^-1(-1/2+(5)^(1/2)/2))
=-1/2+(5)^(1/2)/2
hvilket er den eksakte værdi af hældningen af tangenten i P

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. december 2005 af Epsilon (Slettet)

#4:
Jeg havde samme idé i tankerne i #2, og der er rigtignok to løsninger til andengradsligningen

u^2 + u - 1 = 0 (*), u = sin(x).

Men dette giver ikke anledning til to værdier af x, thi den ene løsning til (*) må forkastes, eftersom den ikke er indeholdt i billedmængden for sinus - og endvidere er restriktionen af sinus til [0;pi/2] injektiv. Altså giver den anden løsning anledning til præcis én værdi af x; nærmere bestemt

x = arcsin{(sqrt(5) - 1)/2}.

//Epsilon

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. december 2005 af lany (Slettet)

Fint, så er vi enige. Jeg håber ikke den oprindelige spørger er faldet af i mellemtiden....

Skriv et svar til: Diff. af cos og tan!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.