Matematik

Entydighed - bevis

17. december 2005 af IBM (Slettet)

Hej

Jeg skal bevise følgende påstand:

Der findes kun ét polynomium af grad <(=) n, hvis graf går igennem n+1 givne punkter med forskellige x-værdier.

Det er intet problem at vise, at der eksisterer et sådant polynomium; problemet er at vise, at der kun findes det ene.

Kan nogle hjælpe mig?

Svar #1
17. december 2005 af IBM (Slettet)

Jeg tænker på, om man kan antage, at der findes to sådanne polynomier, og så på en eller anden må komme frem til, at de må være ens.

Brugbart svar (0)

Svar #2
17. december 2005 af allan_sim

#1.
Antag at der eksisterer to polynomier P og Q af grad højst n, der går gennem n+1 givne punkter.

Overvej, hvad du så kan vide om polynomiet P-Q.

Svar #3
17. december 2005 af IBM (Slettet)

Man kan vel kun vide, at det er af grad højst n. Men jeg kan godt se, at det ville være smart, hvis P-Q var nulpolynomiet, for så er P og Q ens. Men hvordan argumenterer man for det?

Brugbart svar (0)

Svar #4
17. december 2005 af allan_sim

#3.
Hvor mange rødder har P-Q?

Svar #5
17. december 2005 af IBM (Slettet)

Det kan vel højst have n rødder.

Brugbart svar (0)

Svar #6
17. december 2005 af allan_sim

#5.
Ja, ifølge teorien må den højst have n rødder, men hvor mange har den i henhold til den måde, den er konstrueret på?

Svar #7
17. december 2005 af IBM (Slettet)

Jeg kan godt se, hvor du vil hen, men kan ikke forestille mig det. Hvis det har flere end n rødder, er det jo netop nulpolynomiet, men hvad mener du med den måde, det er konstrueret på?

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. december 2005 af allan_sim

#7.
Du har antaget, at P går igennem de samme n+1 punkter som Q. Hvis du kalder x-værdierne for disse punkter hhv. x_1, x_2 osv. op til x_(n+1), hvad får du så som resultat, når du udregner (P-Q)(x_1), (P-Q)(x_2) osv.?

Ikke mere hjælp herfra - hvis det ikke er hjælp nok, må du hellere finde en anden metode :-)

Svar #9
17. december 2005 af IBM (Slettet)

Så P-Q har altså et nulpunkt i hver af de omtalte n+1 x-værdier og er derfor nulpolynomiet.

Jeg kan bare ikke se, at det er et godt bevis, for fra starten af antager man jo, at P=Q, hvilket man så også kommer frem til.

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. december 2005 af allan_sim

#9.
Nej, det antager man jo netop ikke. Man antager - i modsætning til det sætningen udtaler - at der findes to forskellige polynomier af grad højst n, som går gennem n+1 givne punkter. Da kan man konstruere et tredje polynomium af grad højst n med n+1 rødder, hvilket er en modstrid. Altså må antagelsen forkastes.

Svar #11
17. december 2005 af IBM (Slettet)

Det kan jeg godt se; tak for hjælpen.

Skriv et svar til: Entydighed - bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.