Matematik
diff. ligning
02. januar 2006 af
bobbie (Slettet)
hey... hvordan løser man diff. ligningen
dy/dx = y/lny * (x+2)
som går gennem punktet P(2,e)
umiddelbart gættede jeg på seperation af de variable, men der går jeg i stå: (som integraltegn bruger jeg S)
S(lny/y)dy = S(x+2)dx
(ylny - y)/0,5y^2 = 0,5x^2 + 2x + k
(lny-1)/0,5y = 0,5x^2 + 2x + k
P indsættes:
0=0,5*2^2+2*2+k <=> k=-6
(lny-1)/0,5y = 0,5x^2 + 2x - 6
men jeg herfra ved jeg ikke, hvordan jeg skal isolere???
nogen der kan hjælpe??
dy/dx = y/lny * (x+2)
som går gennem punktet P(2,e)
umiddelbart gættede jeg på seperation af de variable, men der går jeg i stå: (som integraltegn bruger jeg S)
S(lny/y)dy = S(x+2)dx
(ylny - y)/0,5y^2 = 0,5x^2 + 2x + k
(lny-1)/0,5y = 0,5x^2 + 2x + k
P indsættes:
0=0,5*2^2+2*2+k <=> k=-6
(lny-1)/0,5y = 0,5x^2 + 2x - 6
men jeg herfra ved jeg ikke, hvordan jeg skal isolere???
nogen der kan hjælpe??
Svar #1
02. januar 2006 af lany (Slettet)
Seperation af de variable ER en måde at gøre det på, men du integrerer forkert.Når du er kommet til S(lny/y)dy = S(x+2)dx kan du integrere venstresiden vha. partiel integration... Håber det hjælper dig.
Svar #2
03. januar 2006 af Dominik Hasek (Slettet)
#0:
I stedet for at bruge partiel integration, som foreslået i #1, er det her nemmere at lave substitution:
t = ln(y) =>
dt = 1/y*dy =>
dy = y*dt
Dette betyder, at
S[ln(y)/y]dy
= S[t/y*y]dt
= S[t]dt
= 1/2*s^2+K_1
= 1/2*ln(y)^2+K_1
Altså er
1/2*ln(y)^2+K_1 = 1/2*x^2+2x+K_2 =>
1/2*ln(y)^2 = 1/2*x^2+2x+K_3 =>
ln(y)^2 = x^2+4x+K (*)
hvor K = 2*K_3 = 2*(K_2-K_1) er en integrationskonstant. Ved at indsætte (2,e) i (*), kan du nu bestemme K. Man finder at K = -11, og dermed har vi følgende:
ln(y)^2 = x^2+4x-11 (**)
Det er nu et godt tidspunkt at bestemme definitionsmængden: Da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal (såfremt vi regner i R), må vi sikre os at
x^2+4x-11 >= 0 =>
x <= -2-15^(1/2) eller x >= -2+15^(1/2)
Eftersom
-2+15^(1/2) <
-2+16^(1/2) =
-2+4 =
2
som jo er førstekoordinaten til P, ser vi at vi må stille det krav, at
x >= -2+15^(1/2)
Vender vi nu tilbage til (**), har vi for ethvert reelt x >= -2+15^(1/2), at
ln(y)^2 = x^2+4x-11 =>
ln(y) = (x^2+4x-11)^(1/2) =>
y = exp[(x^2+4x-11)^(1/2)]
hvilket er løsningen til differentialligningen.
I stedet for at bruge partiel integration, som foreslået i #1, er det her nemmere at lave substitution:
t = ln(y) =>
dt = 1/y*dy =>
dy = y*dt
Dette betyder, at
S[ln(y)/y]dy
= S[t/y*y]dt
= S[t]dt
= 1/2*s^2+K_1
= 1/2*ln(y)^2+K_1
Altså er
1/2*ln(y)^2+K_1 = 1/2*x^2+2x+K_2 =>
1/2*ln(y)^2 = 1/2*x^2+2x+K_3 =>
ln(y)^2 = x^2+4x+K (*)
hvor K = 2*K_3 = 2*(K_2-K_1) er en integrationskonstant. Ved at indsætte (2,e) i (*), kan du nu bestemme K. Man finder at K = -11, og dermed har vi følgende:
ln(y)^2 = x^2+4x-11 (**)
Det er nu et godt tidspunkt at bestemme definitionsmængden: Da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal (såfremt vi regner i R), må vi sikre os at
x^2+4x-11 >= 0 =>
x <= -2-15^(1/2) eller x >= -2+15^(1/2)
Eftersom
-2+15^(1/2) <
-2+16^(1/2) =
-2+4 =
2
som jo er førstekoordinaten til P, ser vi at vi må stille det krav, at
x >= -2+15^(1/2)
Vender vi nu tilbage til (**), har vi for ethvert reelt x >= -2+15^(1/2), at
ln(y)^2 = x^2+4x-11 =>
ln(y) = (x^2+4x-11)^(1/2) =>
y = exp[(x^2+4x-11)^(1/2)]
hvilket er løsningen til differentialligningen.
Svar #3
03. januar 2006 af diablokiller2 (Slettet)
OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG - OMG -
SERIØST FÅ JER ET LIV SMÅ MORMOR-FISSER!
SERIØST FÅ JER ET LIV SMÅ MORMOR-FISSER!
Skriv et svar til: diff. ligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.