Matematik
Differentialligning
13. januar 2006 af
*pernille* (Slettet)
Bestem til differentialligningen
y'' - (1/4)y = 0
den løsning, hvis graf går igennem punktet A(0,6) og i punktet A har en tangent med hældningskoefficient 1.
Jeg er lidt usikker på, hvordan jeg skal gribe den an, men man må i hvert fald skulle gøre sådan: y'' = (1/4)y.
Kan jeg bare opskrive dens løsning på formen :
y = c1 * e^(kx) + c2 * e^(-kx) eller ska jeg gøre noget inden? Hvordan finder jeg ud af det med tangenten?
y'' - (1/4)y = 0
den løsning, hvis graf går igennem punktet A(0,6) og i punktet A har en tangent med hældningskoefficient 1.
Jeg er lidt usikker på, hvordan jeg skal gribe den an, men man må i hvert fald skulle gøre sådan: y'' = (1/4)y.
Kan jeg bare opskrive dens løsning på formen :
y = c1 * e^(kx) + c2 * e^(-kx) eller ska jeg gøre noget inden? Hvordan finder jeg ud af det med tangenten?
Svar #1
13. januar 2006 af Duffy
"punktet A har en tangent med hældningskoefficient 1."
betyder
f'(0) = 1
Duffy
betyder
f'(0) = 1
Duffy
Svar #4
13. januar 2006 af fixer (Slettet)
Du har uden tvivl lært, at den fuldstændige løsning til differentialligningen
y'' + ay' + by = 0 (*)
bestemmes ved først at finde rødderne, k1 og k2 i den til (*) korresponderende karakterligning
l²+al+b = 0
Såfremt løsningerne er reelle tal, da er den fuldstændige løsning til differentialligningen netop mængden af linearkombinationer af funktionerne e^(k1*x) og e^(k2*x), altså
y = c_1*e^(k1*x) + c_2*e^(k2*x), c_1,c_2 E R
hvor c_1, c_2 er vilkårlige (=arbitrære) reelle konstanter.
Svaret på dit første spørgsmål er derfor, at hvis ellers k=½, så er det den fuldstændige løsning du har.
Bemærk at der i denne fuldstændige løsning indgår 2 konstanter. Det kræver 2 uafhængige oplysninger at fastlægge disse.
De krævede oplysninger er netop, at
y(0) = 6
y'(0) = 1
Hvis du anvender disse informationer på den fuldstændige løsning fås 2 ligninger til bestemmelse af c_1 og c_2.
y'' + ay' + by = 0 (*)
bestemmes ved først at finde rødderne, k1 og k2 i den til (*) korresponderende karakterligning
l²+al+b = 0
Såfremt løsningerne er reelle tal, da er den fuldstændige løsning til differentialligningen netop mængden af linearkombinationer af funktionerne e^(k1*x) og e^(k2*x), altså
y = c_1*e^(k1*x) + c_2*e^(k2*x), c_1,c_2 E R
hvor c_1, c_2 er vilkårlige (=arbitrære) reelle konstanter.
Svaret på dit første spørgsmål er derfor, at hvis ellers k=½, så er det den fuldstændige løsning du har.
Bemærk at der i denne fuldstændige løsning indgår 2 konstanter. Det kræver 2 uafhængige oplysninger at fastlægge disse.
De krævede oplysninger er netop, at
y(0) = 6
y'(0) = 1
Hvis du anvender disse informationer på den fuldstændige løsning fås 2 ligninger til bestemmelse af c_1 og c_2.
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.