Matematik
HJÆLP.... Vektorer
16. januar 2006 af
Mettemig (Slettet)
Hej...
Sidder med en opgave, som jeg bare har brugt lang tid på at forsøge at finde ud af..... håber nogen kan hjælpe, den lyder:
Linjen m er givet ved:
3x+4y=12
Bestem koordinaterne til de to puntkter P og Q, hvis afstand til m er 5, og hvis prjektion på m har koordinaterne (8 ; -3).... Ved resultater er (11,1) og (5,-7)
På forhånd tak
Sidder med en opgave, som jeg bare har brugt lang tid på at forsøge at finde ud af..... håber nogen kan hjælpe, den lyder:
Linjen m er givet ved:
3x+4y=12
Bestem koordinaterne til de to puntkter P og Q, hvis afstand til m er 5, og hvis prjektion på m har koordinaterne (8 ; -3).... Ved resultater er (11,1) og (5,-7)
På forhånd tak
Svar #1
17. januar 2006 af fixer (Slettet)
Lad (x,y) være et vilkårligt punkt med afstanden 5 til m. Af formlen for afstanden mellem punkt og linie gælder så
|3x+4y-12|/sqrt(3^2+4^2) = 5 <=>
|3x+4y-12| = 25 (*)
Ethvert punkt, som har afstanden 5 til m opfylder derfor (*), det vil sige een af de to ligninger
3x+4y-12 = 25 \\/ 3x+4y-12 = -25 (**)
At der er to ligninger i (**) afspejler blot at punkterne med afstanden 5 til m kan ligge på begge sider af m.
Der er uendeligt mange punkter, der opfylder (**), men oplysningen om, at man søger de punkter, hvis projektion på m er (8,-3), fastlægger løsningen entydigt.
At et punkt, P, er projiceret på m i punktet M betyder at vektoren MP er ortogonal på en retningsvektor for linien. Vi har
PM = (x-8,y+3)
og en retningsvektor for linien m er
r = (4,-3)
To vektorer er ortogonale dersom skalarproduktet imellem dem er nul. Dette giver ligningen
PM*r = 0 (***)
Betingelsen (***) parres nu med hver af ligningerne i (**). Derved fremkommer to sæt af 2 ligninger med 2 ubekendte. Det ene sæt bestemmer koordinaterne for P, det andet koordinaterne for Q. Og bemærk at P og Q er hinandens spejlbillede i m.
|3x+4y-12|/sqrt(3^2+4^2) = 5 <=>
|3x+4y-12| = 25 (*)
Ethvert punkt, som har afstanden 5 til m opfylder derfor (*), det vil sige een af de to ligninger
3x+4y-12 = 25 \\/ 3x+4y-12 = -25 (**)
At der er to ligninger i (**) afspejler blot at punkterne med afstanden 5 til m kan ligge på begge sider af m.
Der er uendeligt mange punkter, der opfylder (**), men oplysningen om, at man søger de punkter, hvis projektion på m er (8,-3), fastlægger løsningen entydigt.
At et punkt, P, er projiceret på m i punktet M betyder at vektoren MP er ortogonal på en retningsvektor for linien. Vi har
PM = (x-8,y+3)
og en retningsvektor for linien m er
r = (4,-3)
To vektorer er ortogonale dersom skalarproduktet imellem dem er nul. Dette giver ligningen
PM*r = 0 (***)
Betingelsen (***) parres nu med hver af ligningerne i (**). Derved fremkommer to sæt af 2 ligninger med 2 ubekendte. Det ene sæt bestemmer koordinaterne for P, det andet koordinaterne for Q. Og bemærk at P og Q er hinandens spejlbillede i m.
Skriv et svar til: HJÆLP.... Vektorer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.