planer i rummer

her der slet ingen hjælp at hente?? med venlig hilsen mig...

Det er længe siden jeg har beskæftiget mig med dette, men umiddelbart synes følgende fremgangsmåde mig fornuftig: Da planen tangerer kuglen, må en retningsvektor for linjen gennem kuglens centrum og røringspunktet også være en normalvektor til planen. Givet en sådan normalvektor, kan du direkte opstille planens linging på formen

ax + by +cz + d = 0

hvor d bestemmes ud fra kuglens radius.

ja, det lyder da meget fornuftigt, men hvordan sikrer jeg mig, at begge punkter A og B ligger i begge planer?

Nå for satan; jeg havde ikke set at begge punkter skulle ligge i planen -- så kan mit forslag _ikke_ bruges! Jeg skal nok se på det senere, men har ikke tid nu.

ok, men det kunne være super lækkert, hvis det kunne være inden for de næste par timer...da jeg skal aflever opgaven i morgen...takker

Da dette indlæg efter al sandsynlighed kommer for sent skal jeg undtagelsesvist regne opgaven.

Da A og B skal ligge i begge planer må de nødvendigvis ligge på skæringslinien mellem planerne. Vektoren AB er en retningsvektor for denne skæringslinie og må derfor være parallel med begge planer. Vi har

AB = (0,-10,10)

Lad P(x,y,z) være et vilkårligt punkt på K. Radiusvektor CP har da koordinaterne

CP = (x-3,y,z-4)

hvor C er K's centrum C(3,0,4).

Følgende to krav skal opfyldes af punktet P:

1) AB skal være ortogonal på CP.

2) AP skal være ortogonal på CP.

Begge kravene udtrykker det faktum, at i tangentpunktet P skal radiusvektor være ortogonal på enhver vektor parallel med tangentplanerne.

Man har af første krav:

AB*CP = 0 <=>

-10y+10(z-4) = 0 <=>

y = z-4 (*)

medens andet krav giver anledning til

AP = (x,y-10,z)

AP*CP = 0 <=>

x(x-3)+y(y-10)+z(z-4) = 0 (**)

Med henblik på at udtrykke x ved z subtraheres (**) fra ligningen for K hvorved man når frem til ligningen

-3x+10y-4z = 0

Indsættelse af (*) heri giver endelig x udtrykt ved x

x = 2z-40/3 (***)

Punktet P har derfor formen P(2z-40/3,z-4,z) hvor z kan betragtes som en fri parameter. Kravet om at P skal ligge på K udtrykkes ved at indsætte P i kuglens ligning. Man ledes herved til andengradsligningen

6z^2 - (244/3)z + (7+(49/3)^2) = 0

Med diskriminanten d = (20/3)^2 fås to reelle løsninger som via (*) og (***) giver anledning til de to tangentpunkter

P(-8/9,20/9,56/9)

Q(4/3,10/3,22/3)

Korrektion:

"x udtrykt ved x"

->

x udtrykt ved z