Matricer og vektorer

Bob kom her over og lav min mat. aflevering i stedet!

Kyss

Lad der i et vektorrum V være givet n vektorer, der betegnes a_1,a_2,...,a_n. Disse vektorer kaldes lineært afhængige, dersom ligningen

k_1*a_1 + k_2*a_2 +...+ k_n*a_n = 0 (*)

er tilfredsstillet for et egentligt talsæt (k_1, k_2,...,k_n) hvorimod de kaldes lineært uafhængige dersom ligning (*) kun tilfredsstilles af talsættet (0,0,...,0).

At en samling vektorer er lineært uafhængige betyder således, at ingen af dem kan skrives som en linearkombination af de øvrige.

Er der omvendt givet p lineært uafhængige vektorer a_1,...,a_p mens vektorerne a_1,...,a_p,a_(p+1) er lineært afhængige, så kan a_(p+1) skrives som en linearkombination af a_1,...,a_p.

Hvis man af et vektorrum V kan udtage n lineært uafhængige vektorer, mens n+1 vektorer altid vil være lineært afhængige, siges V at have dimensionen n. Det betyder, at enhver vektor i V kan skrives som en linearkombination af de n uafhængige vektorer. Disse siges at udgøre en basis for (udspænde) V^m.

Om et sæt vektorer, v_1, v_2,...,v_n,er lineært uafhængige afgøres ved at opstille følgende matrix med vektorerne v_i som søjler

V = [v_1 v_2 ... v_n] (**)

og ved rækkeoperationer skaffe nuller under diagonalen. Hvis matrixen har rang p er vektorerne lineært uafhængige hvis p=n, ellers ikke. Dette hænger sammen med, at ligningssystemer (*) jo kan skrives

Vk = 0 (***)

hvor k er en søjlevektor

[k_1 k_2 ... k_n]^T

og V er givet ved (**). Hvis koefficientmatricen V for det lineære homogen ligningssystem har rangen p, vil systemet have nulløsningen alene for p=n, medens der for p<n vil være en (n-p)-uendeælighed af løsninger.

Hejsa.

I maple ville du med linalg pakken taste følgende:

> restart:with(linalg):
> v1:=vector([4,2,-1,3]);
> v2:=vector([2,-2,-1,1]);
> v3:=vector([-2,8,2,0]);
> v4:=vector([0,1,0,2]);
> v5:=vector([1,1,1,2]);

"(a): Undersøg, om vektorerne {v1,v2,v3,v4} udspænder R4, dvs. om Span(v1,v2,v3,v4)=R4 "

Span{v1,v2,v3,v4}=R4, hvis rank(A) = dim(R4), det vil sige hvis rangen af A er 4 udspænder {v1,v2,v3,v4} da R4.
Dette er IKKE tilfældet!

Kan i maple indses, vha. en af følgende to kommandoer (fortsat fra før:

>A:=transpose(matrix([v1,v2,v3,v4]));
>gaussjord(A);
eller
>rank(A);

ved første kommando, bringes matricen, A på reduceret echelonform, hvorved rangen direkte kan aflæses.
ved anden kmmando (rank(A)), giver maple dig bare rangen af matricen.


"(b): Undersøg, om vektorerne {v1,v2,v3,v4,v5} udspænder R4."

Samme fremgangsmåde som før, nu hedder maplekommandoen f.eks. :

>A:=transpose(matrix([v1,v2,v3,v4,v5]));
>rank(A);

Hermed indses at rangen af A nu er 4, hvorved de 5 vektorer udspænder R5.

"(c): Kan der fra vektorerne {v1,v2,v3,v4,v5} udtages 4 vektorer, der udspænder R4? I bekræftende fald: Hvilke 4?"

Når du ser på den reducerede echelonform (hvis du har gjort præcis som mine mapleinputs, og bruger Classic Worksheet maple 10.0=), fra delspørgsmål b, ses det at v3 kan skrives som en linearkombination af de øvrige vektorer:

hvorfor span{v1,v2,v4,v5} = R4

Lidt flere detaljer:

"Hvad betyder det, at de 4 vektorer (som jo vel er i 4 dimensioner?) udspænder R4?. "

Det er ikke nødvnedigvis korrekt at 4 vektorer med 4 koordinater udspænder i R4, eksempelvis kan de alle være parrallele linier i det 4.dimensonelle rum R4 hvorfor de kun udspænder R1, og så fremdeles.

En dybere forklaring på udspændig, kan f.eks. forklares ved de sædvanlige basisvektorer i R4, nemlig:

e1 = (1,0,0,0), e2 = (0,1,0,0), e3 = (0,0,1,0) og endelig (e4 = 0,0,0,1) disse ses tydeligt at være lineært uafhængige, idet ingen af dem kan skrives som en linearkombination af de øvrige, og de udgør i øvrigt en ortonormal basis for R4 (det vil sige de har længden 1 og er alle ortogonale).


"For mig er det lidt svært at forestille mig dette rent geometrisk, så jeg kunne godt tænke mig at høre om nogle gode måder at "forestille sig det på?"

Den simpleste metode er at se på x-y planen, som har de sædvanlige basisvektorer i = (1,0) og j = (0,1)
Disse udspænder planen idet ingen af dem kan skrives som en linearkombination af den anden.

Endvidere må det, hvis de skal udspænde planen gælde, at enhver anden vektor i x-y planen kan skrives som en linearkombination af disse (det vi normalt kalder koordinater), derfor kan man ikke kun have 1 basis vektor i planen, og derfor må basisvektorer ikke være parrelle, idet, man da ikke kan beskrive en vektor der står vinkelret på en af disse vektorer!

Håber det hjalp lidt?

//Sentinox

Hej

Tak for de grundige besvarelser.

Så hvis jeg har forstået det korrekt, så handler det om, at få simplificeret matricen så det er nemt at observere, at ingen (eller nogle) af de andre vektorer kan udtrykkes vha. linearkombinationer af hinanden?, men hvis blot èn af vektorerne kan udtrykkes vha. de andre så er systemet lineært afhængigt og udspænder derfor R^n ?


Jeg vil jo gerne vide at det er muligt, at løse opgaven ved håndkraft, men at jeg blot bruger maple for at gøre det simplere.

- AdfliCto

Men lige for at uddybe, hvad betyder funktionen Rank så?.. den er vi ikke blevet introduceret til endnu. Og hvad har rangen af en matrice at gøre med, om den udspænder R^n?

-AdfliCto

Hej igen.

"Men lige for at uddybe, hvad betyder funktionen Rank så?.. den er vi ikke blevet introduceret til endnu. Og hvad har rangen af en matrice at gøre med, om den udspænder R^n?"

Jeg syntes det lyder mærkeligt at i ikke er blevet intruduceret for begrebet rang (i maple "rank"), da det er meget centralt i den lineære algebra.

Begrebet rang, dækker over, at man vha. gauss-algoritmen, bringer det givne lineære system på "Reduced Row Echelon Form, RREF", det vil sige at systemet ikke vha. regneoperationerne i gauss-eliminationen kan simplificeres yderligere.

Antallet af rækker der ikke indeholder lutter nuller, er da rangen af matricen.

Rangens sammenhæng med om den udspænder et givet rum, er defineret således:

rank(A) = dim(R^n)

Det vil sige, er A matrix, bestående af søjlevektorer, element i R^n, og er rangen af A lig dimensionen af R^n (dim(R^n)=n), da er udspændingen af søjlevektorerne i A lig med R^n.

"Så hvis jeg har forstået det korrekt, så handler det om, at få simplificeret matricen så det er nemt at observere, at ingen (eller nogle) af de andre vektorer kan udtrykkes vha. linearkombinationer af hinanden?"

Til dels Ja, se nedenfor.

", men hvis blot èn af vektorerne kan udtrykkes vha. de andre så er systemet lineært afhængigt og udspænder derfor R^n ? "

Dette afhænger at antallet af vektorer, og deres indbyrdes lineære afhængighed eller uafhængighed.
I dit tilfælde fandtes 5 vektorer, som aldrig ville kunne udspænde R^4, da en basis for R^4 kun indeholder 4 basisvektorer (det vil sige 4 koordinater), eller 4 dimensioner om du vil.

Du kunne have risikeret at have haft 5 parralelle vektorer, hvorfor system da kun havde udspændt R!

Håber du forstår denne ide?

"Jeg vil jo gerne vide at det er muligt, at løse opgaven ved håndkraft, men at jeg blot bruger maple for at gøre det simplere. "

I alle områder af matematik, skal man passe MEGET på ikke at stole for blindt på Maple, og dermed miste håndelaget, da dette let fører til fejl.
Maple bør i de simplere opgaver KUN bruges til kontrol!


//Sentinox

tak, tak igen.

Bare lige for at få det slået helt fast:
Når vektorsystemet er lineært uafhængigt, udspænder det så R^n? eller er det omvendt... igen.. det er svært når man ikke _kan_ forestille sig det.

- AdfliCto

#7
Nej. Som nævnt i #2 udspænder et system af p lineært uafhængige vektorer et (under)rum af dimension p. Kun i det tilfælde, hvor p=n, udspænder det R^n.

Ok...

Så i mit tilfælde har jeg i a), at antallet af vektorer er lig dimensionen af rummet, blot er vektorerne lineært afhængige, dvs. de udspænder ikke R4...?

i b) er antallet af vektorer ikke lig dimensionen af rummet.. (R4 og 5 vektorer), så her udspænder de ikke.

men i c) udvælger jeg de 4 uafhængige vektorer (hvor p bliver lig n selvfølgelig). De 4 uafhængige vektorer udspænder da R4.... ik?

Er der noget jeg har misforstået?

ad a) Det er korrekt, at i (a) udvælger man 4 vektorer, som viser sig at være lineært afhængige. De kan derfor ikke udspænde et firedimensionalt vektorrum.

ad b) Nu udvælges 5 vektorer, og det viser sig, at maksimalsættet har dimension 4. Det vil sige, der kan blandt de 5 udtages 4, som udspænder et firedimensionalt rum. De 5 vektorer udspænder derfor faktisk et firedimensionalt rum idet enhver vektor i et firedimensionalt rum vil kunne skrives som en linearkombination af de 5 udvalgte vektorer. De udgør naturligvis ikke en base for rummet, men de udspænder det.

Bemærk forskellen mellem det at et sæt vektorer udspænder et vektorrum og det at de danner en base for et vektorrum.

Hvis der i et vektorrum V over et legeme K (f.eks. de relle tal R) udtages vektorer v_1,...,v_n så udspænder disse underrummet

{a_1*v_1+...+a_n*v_n, a_1,...,a_n E K}

men dimensionen af det er ikke nødvendigvis n. I modsætning til en base behøver vektorerne v_1,...,v_n nemlig ikke at være lineært uafhængige.

ad c) I forlængelse af (b) udvælges dernæst de 4 lineært uafhængige vektorer. Disse udgør en basis for et firedimensionalt vektorrum, specielt R^4, hvis R er det underliggende tallegeme.