Matematik

2.057, så prøver vi igen.

02. april 2006 af hund (Slettet)

Jeg må lige have den en gang til får prins hund. Tror virkelig, at jeg har fået en hjerneblødning eller noget. Kan hvertfald slet ikke fatte de hints der er givet til opgave 2.057 i eksamensopgaver i matematik (1. års).

For at genopfriske lyder opgaven:

"I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i O(0,0,0). Punktet P(3,0,4) ligger på kuglen."

problemet opstår her:

"Der findes to planer, der tangerer kuglen, og som begge indeholder punkterne A(0,10,0) og B(0,0,10)."

Bestem for hver af de to planer koordinatsættet, hvori planen rører kuglen.

mit forslag:

vi ved planerne indeholder punkterne A(0,10,0) og B(0,0,10), og vi havde planets ligening beta: x_0x + y_0y +z_0z = 25. vi ved at punkterne ligger i planen og man kan derfor finde y_o hhv. z_0. de kan sættes ind i kuglens ligning for derved at finde x_0

er jeg "way-off" ? eller ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. april 2006 af ibibib (Slettet)

Hvor kommer de 25 fra i planens ligning?

Svar #2
02. april 2006 af hund (Slettet)

sorry, det er fordi, at kuglens ligning er:

x^2+y^2+z^2 = 5^2 = 25

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. april 2006 af ibibib (Slettet)

Hvis du kalder planens røringspunkt for Q, så skal vektorerne AQ og OQ være ortogonale.
Det samme gælder om vektorerne BQ og OQ.
Derudover skal Q ligge på kuglen.

Det giver tre ligninger:
x^2+y^2+z^2-10*y=0
x^2+y^2+z^2-10*z=0
x^2+y^2+z^2=25.

Du skal løse disse tre ligninger med tre ubekendte. I dette tilfælde kan du "trække øverste ligning fra midterste ligning", det giver at y=z.

Svar #4
02. april 2006 af hund (Slettet)

og så kan jeg finde koordiaterne til Q ?

Altså bare ved at sætte

x^2 + 2y^2 = 25,

men så får jeg ét problem her, for ved ikke hvad jeg skal sætte ind i denne ligning, eller hvor jeg eventuelt skal sætte den ligning ind ?

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. april 2006 af ibibib (Slettet)

Du kan "trække linje to fra linje tre".
Det gider at 10z=25 og dermed
z=2,5 og y=2,5.

Derefter kan du bestemme x.
(svaret er x=+-2,5*sqrt(2).

Svar #6
02. april 2006 af hund (Slettet)

siger tusind mange gange tak for tålmodigheden med mig :D

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. april 2006 af Raphson (Slettet)

Hvorledes er det, at du kan opstille de tre ligninger? Den sidste er naturligvis ligningen for kuglen, men de andre to?

Og jeg burde få to punkter ud af dette, men opnår jeg det ved at finde de tre ubekendte?

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. april 2006 af ibibib (Slettet)

Når du prikker to ortogonale vektoer bliver resultatet 0.

(x,y,z) er et punkt, men der er to løsninger til ligningssystemet.

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. april 2006 af Raphson (Slettet)

Jeg forstår bare ikke, hvorfor de skal trækkes fra kuglens ligning - undskyld, hvis jeg spørger lidt uovervejet eller dumt. Kan bare ikke helt se det

Brugbart svar (0)

Svar #10
19. april 2006 af ibibib (Slettet)

Det virker.
dvs du får reduceret antallet af ubekendte i ligningerne, hvilket gør det muligt at løse dem.

Brugbart svar (0)

Svar #11
19. april 2006 af Raphson (Slettet)

Mit problem består i, at jeg ikke ved hvorfra 10y og 10z kommer, og hvorfor disse skal trækkes fra kuglens ligning. Det var måske også det, du svarede på i #10?

Brugbart svar (0)

Svar #12
19. april 2006 af ibibib (Slettet)

Ja og i #8.

Vektorerne AQ og OQ er ortogonale. Skriv koordinatsættet for begge vektorer op og beregn prikproduktet. Så har du ligningen.

Brugbart svar (0)

Svar #13
19. april 2006 af Raphson (Slettet)

Det giver mig umiddelbart to ligninger, hvoraf den ene er kuglens ligning, og den anden er når de to vektorer er prikket sammen, x^2+y^2+z^2-10*y-10z=0

Brugbart svar (0)

Svar #14
19. april 2006 af ibibib (Slettet)

Hvis A(0,10,0), Q(x,y,z) og O(0,0,0) skal du bestemme AQ og OQ, derefter prikproduktet.

Brugbart svar (0)

Svar #15
19. april 2006 af Raphson (Slettet)

Det har jeg også gjort, og jeg fik x^2+y^2+z^2-10y-10z=0

Brugbart svar (0)

Svar #16
21. april 2006 af Raphson (Slettet)

Jeg håber det er i orden jeg opdaterer tråden - har stadigvæk problemer med, hvorledes x^2+y^2+z^2-10y-10z=0 omskrives til to ligninger

Brugbart svar (0)

Svar #17
21. april 2006 af ibibib (Slettet)

#16 Ligningen skal ikke omskrives til to ligninger.

AQ=(x,y-10,z) og OQ=(x,y,z)
giver at
AQ·OQ = x²+y²+z²-10y = 0.

Når du derefter beregner BQ·OQ får du den anden ligning.

Brugbart svar (0)

Svar #18
21. april 2006 af Raphson (Slettet)

Mange tak skal du have, Ibibib.

Skriv et svar til: 2.057, så prøver vi igen.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.