Matematik

differentialligning

03. maj 2006 af DMUS (Slettet)

hvordan sepererer jeg de variable i en differential ligning af karakteren:

y´= x - y

dy/dx = x - y

Er der nogle smarte tricks at komme videre?

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. maj 2006 af Jakobmp (Slettet)

dy/dx = x - y
ydy = xdx

y = kvadratrod2x

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. maj 2006 af Duffy

#1: RENT ÆVL !!

Løsningen er på formen

y(x) = - x - 1 + k·e^(x)

Duffy

Svar #3
03. maj 2006 af DMUS (Slettet)

Til #2:

Tak, men hvad er fremgangsmåden, og i så fald hvilke sammenhænge er nødvendige at være i bekendskab med?

Jeg har i et kompendie at løsningen er:
y = x - 1 + 6*e^(-x)

Men dette besvare stadig ikke, hvordan man kommer frem til det.

Svar #4
03. maj 2006 af DMUS (Slettet)

Har du en lærebog, hvor udledningen af den løsningsform er defineret eller lignende?..

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. maj 2006 af Duffy

y = x - 1 + 6*e^(-x)

Hmm?! Det betyder at der er nogle oplysninger du ikke har givet mig.

Går integralkurven gennem et bestemt punkt?

Duffy

NB! Hint sæt x-y=z

Svar #6
03. maj 2006 af DMUS (Slettet)

Ja, der er nogle ting jeg har undtladt, løsningen er bare et faktum af at jeg kan se formen svare meget godt til det du skrev.

Jeg er egentlig bare interesseret i, hvordan man griber en differentialligning med flere led an.

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. maj 2006 af Duffy

Hit med punktet.

c",)

Svar #8
03. maj 2006 af DMUS (Slettet)

Du sætter:
z = x-y

Omskriver til vha. simpel algebra:

y = z-x

Men fra dette forstår jeg ikke lige hvordan man kommer til:

y = z*e^x - x - 1

Det har jo intet med seperation af de variable at gøre.. :S

Svar #9
03. maj 2006 af DMUS (Slettet)

Punktet: y(0) = 5

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. maj 2006 af Duffy

dy/dx = x - y

Sæt z = x - y

så er (mht x)

z' = (x - y)'

dvs

dz/dx = 1 - y' = 1 - z

Altså har vi nu

dz/dx = 1 - z

som er separabel

dz/dx = 1 - z

dz = (1 - z)dx

1/(1 - z)dz = dx

dz/(1 - z) = 1dx

S[1/(1 - z)]dz = S1dx

-ln(1 - z) = x + k

ln(1 - z) = -x - k

(1 - z) = e^(-x - k)

-z = e^(-x - k) - 1

z = -e^(-x - k) + 1

x - y = -e^(-x - k) + 1

-y = -e^(-x - k) + 1 - x

y = e^(-x - k) - 1 + x

y = e^(-x)·e^(-k) - 1 + x

---------

Nu kan vi indsætte punktet (0,5)

5 = e^(-0 - k) - 1 + 0

5 = e^(-k) - 1

e^(-k) = 6

[k = -ln6]

-----------

Dvs

y = e^(-x)·6 - 1 + x

y = - 1 + x + 6e^(-x)

Duffy

Svar #11
03. maj 2006 af DMUS (Slettet)

DU ER EN SKAT! :)

tak, det kunne vores lære ik lige gennemskue..

Brugbart svar (0)

Svar #12
03. maj 2006 af sigmund (Slettet)

Ligningen kan også løses på en anden måde:

Den fuldstændige løsning til den homogene ligning y'(x) = -y(x) er y(x) = c1*e^(-x).

En partikulær løsning til den inhomogene ligning y'(x) = -y(x) + x findes ved brug af "gættemetoden". Vi gætter et førstegradspolynomium a*x + b som løsning, og sætter ind i ligningen. Indsættelse giver

a = -a*x - b + x = (-a + 1)*x - b.

Ved at sammenligne koefficienter fås

-a + 1 = 0 og a = -b.

Dette giver a = 1 og b = -a = -1.

Således er y(x) = x - 1 en partikulær løsning til den inhomogene ligning

Ved brug af superpositionsprincippet fås løsningen

y(x) = c1*e^(-x) + x - 1

til differentialligningen

y'(x) = -y(x) + x.

Konstanten c1 findes ved indsættelse af punktet (0,5). Dette giver

y(0) = c1*e^0 + 0 - 1 = 5 <=> c1 = 6.

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.