Matematik
Løsning til differentialligninger
1.Partiel integration
2.Substitution
3.Separation af de variable
Eksempler:
1) S cosx*xdx , der gælder at f(x)=cosx og har F(x) = sinx som stamfunktion.
Og g´(x) = 1 når g(x)=x
Der gælder:
S cosx*xdx = sinx*x - S sinx*1dx
= x*sinx- S sinxdx
= x*sinx - S cosx+c
2)
Vi har det ubestemte integrale S 2x+3/x^2+3x-1 . vi indfører en ny variabel idet, differentialkvotienten af nævneren i brøken er lig med tælleren. t = x^2+3x+1
dt = (2x+3)dx og indsættes det i integralet fås S 2x+3/x^2+3x-1 dx = (1/x^2+3x-1)(2x+3)dx
= S 1/tdt = ln(t)+c = ln(x^2+3x-1)+c
3.
Denne metode bruges, når der i diff. ligningen indgår to variable, fx x og y. man ganger først med dx på begge sider af lighedstegnet og samler alle faktorer med y på venstre side og alle faktorer med x på højre side, så i stedet for at løse en differentialligning, finder man to ubestemte integraler.
Jeg har fx dy/dx= (2x-5)/y (*)
og grafen for f går gennem punktet P(5,-2). Og jf ovenstående fås nu
S 1/y dy = S 2x-5 dx og man regner nu videre på sædvanligvis..
Når jeg fx har en differentialligning dy/dt = 5,7*10^4*y(316-y), hvor y er en populations størrelse, målt i fluer, og som er en funktion af tiden t, målt i døgn, kan jeg vha deSolve finde forskriften for y, når det oplyses, at der efter 14 døgn er 100 fluer i populationen..
Men jeg kan ikke på samme måde bestemme en forskrif for eksemplet i (*), ikke sandt?
Har jeg forstået de tre metoder korrekt=?
Svar #1
15. maj 2006 af mathon
Og g´(x) = 1 når g(x)=x
Der gælder:
S cosx*xdx = sinx*x - S sinx*1dx
= x*sinx- (-cosx)
= x*sinx + cosx + k
2) Flot - Flot! en lille rettelse:
ln|x^2+3x-1|+ c
3)
* det må man nok sige. Det kræver megen rutine, at finde stamfunktion her.
Det er faktisk kun 3), der er en differentialligning. 1) og 2) er integraler.
Man kan sandelig mærke, at der er blevet repeteret rigtig meget og at det har båret forståelsesmæssig frugt. Godt og gedigent hårdt arbejde med store resultater!!!!!!!!!!!
Svar #2
15. maj 2006 af Stina05 (Slettet)
Men hvad differentialligninger angår, så er metoden, "Separation af de variable" den eneste metode til at løse 1. ordens differentialligninger på gymnasieniveau?
Kan funktionen "deSolve" på lommeregneren kun bruges i tilfælde hvor en differentialligning er en model, der siger noget om en udvikling, som i ex i #0 ?
Svar #3
16. maj 2006 af mathon
dy/dx=ky, der jo kan variabelsepareres til
S1/ydy=Skdx og videre
lny=kx+lnC........(lnC er en arbitrær konstant)
lny-lnC=kx
ln(y/C)=kx
y/C=e^(kx) og endelig
y=Ce^(kx), så er svaret ja.
deSolve kan benyttes til løsning af differentialligninger af både 1. og 2. grad i hvert fald på TI89.
Svar #4
16. maj 2006 af mathon
Svar #5
16. maj 2006 af Stina05 (Slettet)
Svar #6
16. maj 2006 af Stina05 (Slettet)
den giver mig løsningen: y^2=2x^2-10x+4 , dvs y = sqrt(2x^2-10x+4) eller y = - sqrt(2x^2-10x+4 .
Der står i opgaveteksten dy/dx = (2x-5)/y , y
for at vælge den rigtige forskrift, skal jeg så ikke starte med at løse ligningen 2x^2-10x+4 = 0 ?
Svar #7
16. maj 2006 af Stina05 (Slettet)
En funktion f er løsning til differentialligningen dy/dx = 1/(x*y) , x > 0 og grafen for f går gennem punktet P(1,-2). Bestem forskrift og definitionsmængde for f.
vha deSolve får jeg følgende: y^2 = 2*ln(x)+4, dvs y = sqrt(2*ln(x)+4) eller y = - sqrt(2*ln(x)+4).
Men hvordan finder jeg frem til den rigtige forskrift og hvordan bestemmer jeg defintionsmængden i dette tilfælde?
Svar #8
16. maj 2006 af mathon
du skal løse ligningen 2x^2-10x+4 = 0 til hjælp til at finde det x-interval, der gør radikanden ("det under kvadratrodstegnet") positiv(t).
selvfølgelig kan du løse en 2.gradsligning, så jeg skriver lige rødderne (D>0): rod_1=(5-sqrt(17)/2 0g rod_2=(5+sqrt(17)/2.
Der gælder reglen, at fortegnet for et andengradspolynomium - (ax^2+bx+c) - er Modsat a Mellem rødderne. Da a er positiv (a=2), er 2x^2-10x+4Resultat: Dm(f(x)=- sqrt(2*ln(x)+4)=
R\\](5-sqrt(17)/2;(5+sqrt(17)/2[.
Husk f(x)=y
Svar #9
16. maj 2006 af mathon
"Men hvordan finder jeg frem til den rigtige forskrift og hvordan bestemmer jeg defintionsmængden i dette tilfælde?"
forskrift: et simpelt tjek, giver dig løsningen:
Vi efterprøver, om P(1,-2)'s koordinater tilfredsstiller begge de fundne midlertidige løsninger.
Du vil konstatere, at kun
y = - sqrt(2*ln(x)+4) opfylder, at y skal være -2 for x=1.
definitionsmængden:
2*ln(x)+4>=0 <=> ln(x)+2>=0 <=>ln(x)>=-2
Dm(ln(x))=R+, så der kan kun blive tale om posive x og
ln(x)>=-2 <=> x>=e^(-2)
Resultat:
f(x)=- sqrt(2*ln(x)+4 med
Dm(f(x))={x E R+|x>=e^(-2)}
Svar #10
16. maj 2006 af mathon
"Jeg har fx dy/dx= (2x-5)/y (*)
og grafen for f går gennem punktet P(5,-2). Og jf ovenstående fås nu
S 1/y dy = S 2x-5 dx og man regner nu videre på sædvanligvis.. ", skriver du,
men
en separation af x og y i dy/dx= (2x-5)/y giver
Sy*dy=S(2x-5)dx og ikke S1/y*dy=S(2x-5)*dx.
Nu er jeg EFTER dig. Men når nu du har så meget andet rigtigt, så...
Svar #11
16. maj 2006 af mathon
dy/dx = 1/(x*y) , x > 0 *** og grafen for f går gennem punktet P(1,-2)
kunne
du have løst uden deSolve - med "håndkraft":
En variabelseparation giver
ydy=1/xdx
integreret venstreside=integreret højreside på nær en arbitrær konstant:
Sydy=S1/xdx+1/2k
1/2y^2=ln(x)+1/2k...vi behøver ikke numerisktegn om x, da ***
I: y^2=2ln(x)+k =>
y=±sqrt(2ln(x)+k)
P(1,-2)'s koordinater indsættes i I.
4=2ln(1)+k
4=0+k, k=4
y=±sqrt(2ln(x)+4)
resten er, som du husker, behandlet i #9.
Skriv et svar til: Løsning til differentialligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.