Matematik
Differentialligning
Jeg har følgende opgave:
dy/dx = x^3/e^y
a) En funktion f er løsning til differentialligningen og dens graf går gennem punktet P(1.0).
Bestem regneforskrift og definitionsmængde for f.
b) Gør rede for at funktionen g, der er bestemt ved:
g(x) = 4*ln(x) - ln(4), x - R+
også er en løsning til den givne dif. ligning og bestem en ligning for tangenten til grafen for g i punktet med førstekoordinaten 1.
----------------------
Jeg er lidt på bar bund her.. jeg har det rigtigt svært med differentialeligninger og skal til eksamen om 10 dage.
Hvis jeg husker rigtigt skal jeg lave separation af de variable. Men hvordan kommer jeg så videre derfra?
Svar #2
23. maj 2006 af Herter (Slettet)
Hvordan finder jeg så definitionsmængden? og hvordan løser jeg b)?
Jeg er en klovn til det her så bør over med mig ;)
dy/dx = x^3/e^y
e^ydy = x^3dx
Se^ydy = Sx^3dx
e^y = 1/4x^4 + k
y = log(1/4x^4 + k)
-------------------------
Graf gennem (x,y) = (1,0) :
0 = log(1/4*1^4 + k)
0 = log(1/4 + k)
log(1) = log(1/4 + k)
k = 3/4
--------------------------
Dvs
y(x) = ln(1/4*x^4+3/4)
og eftersom
1/4*x^4+3/4 > 0 for alle x
er
Dm(y) = R
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
b) Gør rede for at funktionen g, der er bestemt ved:
g(x) = 4*ln(x) - ln(4), x E R+
også er en løsning til den givne dif. ligning og bestem en
ligning for tangenten til grafen for g i punktet med
førstekoordinaten 1.
dg/dx = 4/x
-------------
x^3/e^(4*ln(x) - ln(4)) =
x^3/(e^(4*ln(x) * e^(-ln(4))) =
x^3/(e^ln(x^4) * e^(ln(1/4))) =
x^3/(x^4 * 1/4) =
4* x^3/x^4 =
4/x
...altså er g også en løsning til bemeldte diff.lign. QED.
Duffy
Svar #6
24. maj 2006 af Herter (Slettet)
Jeg ser på b) når jeg kommer hjem senere i dag.. - gør det lidt lettere med et facit ;)
"...og bestem en
ligning for tangenten til grafen for g i punktet med
førstekoordinaten 1."
Nuvel, nu er tangent-ligningen jo givet ved
y = g(xo) + g'(xo) (x-xo)
så vi har ved simpel indsættelse:
y = 4*ln(xo) - ln(4) + 4/xo (x - xo) , xo=1 ,
y = 4*ln(1) - ln(4) + 4/1 (x - 1)
y = - ln(4) + 4(x - 1)
y = 4x - 4 - ln(4)
Duffy
Svar #8
27. maj 2006 af Herter (Slettet)
Takker for dine svar.. de har hjulpet mig meget i forståelsen af drifferentialligninger :)
Men et punkt fatter jeg ikke helt:
hvordan kommer du herfra:
- y = 4*ln(xo) - ln(4) + 4/xo (x - xo) , xo=1
til her:
- y = 4*ln(1) - ln(4) + 4/1 (x - 1)
?
Svar #9
27. maj 2006 af Herter (Slettet)
y = 4*ln(1) - ln(4) + 4/1 (x - 1)
til
y = - ln(4) + 4(x - 1)
:)
Svar #10
27. maj 2006 af Duffy
nu er jo ln(1) = 0
og
4/1 = 4
så vi har derfor
y = 4*ln(1) - ln(4) + 4/1 (x - 1)
y = 4*0 - ln(4) + 4 (x - 1)
y = 0 - ln(4) + 4(x - 1)
y = - ln(4) + 4(x - 1)
OK?! ;-)
Duffy
Svar #11
27. maj 2006 af Herter (Slettet)
Gik lige udfra at ln(1) var 1.. ved ikke helt hvorfor.. :D
Men takker igen igen ;)
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.