Matematik
Banekurve
Jeg har igen igen et problem..
x=2t^2+2t-4
y=t^3-3t
Jeg skal finde de punkter hvor deres tangent er parallel med én af akserne.
Normalt vil jeg først finde t ved at sætte x'=0
x'=4t+2=o => t=-1/2
Så sætter jeg t=-1/2 ind i x(t) og y(t):
x=2*(-1/2)^2+2*(-1/2)-4=-9/2
y=(-1/2)^3-3*(-1/2)=11/8
Dvs et punkt hvor dets tangent er parallel med y-aksen er (-9/2,11/8) - men det er forkert :/
Hvad søren gør jeg forkert her?
Svar #1
29. maj 2006 af lany (Slettet)
Hvorfor mener du, at du har regnet galt?
Svar #2
29. maj 2006 af Herter (Slettet)
(0,-2) (0,2) (-4,0) (2-2*sqrt(3),2+2*sqrt(3))
Det skulle være alle fire tangenter..
Det sjove er at hvis jeg tegner grafen på min lommeregner kan jeg bestemt ikke finde de fire punkter som parallelle..
F.eks. er (-4,0) skæringspunkt med X-aksen og IKKE parallel med nogen akse.. Så jeg tror at facit er forkert.
Men stadig så er mit resultat også forkert ifølge grafen på lommeregneren
Ifølge grafen skulle punkterne der er parallelle med x-aksen være (-4,2) og (-9/2,-2)
Svar #3
29. maj 2006 af Herter (Slettet)
Svar #5
29. maj 2006 af Herter (Slettet)
"Der findes to punkter på banekurven hvor hastighedsvektoren er parallel med vektoren (10,9)
Beregn t-værdierne til hvert af disse punkter"
Hilfe?
Svar #6
29. maj 2006 af Deschain (Slettet)
Du ved, at hvis to vektorer er parallelle, er deres determinant lig 0.
Svar #7
29. maj 2006 af mathon
y=t^3-3t
x'=dx/dt=4t+2 har du rigtigt fundet
y'=dy/dt=3t^2-3
Tangent(er) parallel med x-aksen har Hældningstal=dy/dx=0.
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(3t^2-3)/(4t+2)=
3(t-1)(t+1)/(4t+2), (hvor dy/dx IKKE er defineret for t=-1/2, hvilket du får brug for senere).
dy/dx=0=(3t^2-3)/(4t+2), hvoraf
t=±1, altså for to forskellige t-værdier, hvilket vil sige to forskellige tangenter svarende til hver sin t-værdi.
De to punkter, hvori kurven har vandret tangent:
t=-1:
(x,y)=(2(-1)^2+2(-1)-4,(-1)^3-3(-1))=(-4,2)
(tangentligning y=2)
t=1:
(x,y)=(2*1^2+2*1-4,1^3-3*1)=(0,-2)
(tangentligning y=-2).
For en lodret tangent er hældningstallet ikke defineret.
dy/dx = (3t^2-3)/(4t+2) er defineret for alle reelle x med UNDTAGELSEaf t=-1/2.
Det er således eneste mulighed for den lodrette tangent.
En lodret linje har ligningen x=konstant (y E R).
Hvilken x-værdi svarer til t=-1/2:
x=2t^2+2t-4=2*(-1/2)^2+2*(-1/2)-4=-9/2
(Den enlige lodrette tangent har ligningen x=-4.5)
og
tangeringspunktet
(x,y)=(-4.5;y=t^3-3t) for t=-1/2
(x,y)=(-4.5;y=t^3-3t)=(-4.5;(-0.5)^3-3*(-0.5)=
(-4.5;11/8) eller (-4.5;1.375)
Svar #8
30. maj 2006 af mathon
v(t)=dr/dt=[x',y']=[4t+2,3t^2-3]
hvis v er parallel med [10,9] er v ortogonal på [-9,10], som er tværvektor til [10,9].
Prikproduktet af ortogonale vektorer er lig med 0:
[4t+2,3t^2-3].[-9,10]=0, hvilket giver
30t^2-36t-48=0 med løsningerne
t1=-0.8 og t2=2
(i punkterne r(-0.8)=(-108/25,236/125) og
r(2)=(8,2)).
Svar #9
30. maj 2006 af Epsilon (Slettet)
Det er plausibelt, at det er for sent at svare nu; ikke desto mindre vil jeg gøre så.
"Der findes to punkter på banekurven hvor hastighedsvektoren er parallel med vektoren (10,9)
Beregn t-værdierne til hvert af disse punkter"
Hastighedsvektoren er fundet ovenfor (ved som bekendt at differentiere koordinatfunktionerne):
dx/dt = 4t + 2
dy/dt = 3t^2 - 3
Herfra har du i hvert fald mindst tre nært beslægtede muligheder for at besvare spørgsmålet; tjek selv, at de alle giver samme svar, nemlig
t = -4/5 hhv. t = 2.
(1) jf. #6.
(2) jf. #8.
(3) Hældningskoefficienten for tangenten til banekurven (i punkter, hvor dx/dt != 0) er
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (3t^2 - 3)/(4t + 2),
(defineret for t != -1/2).
Anskues [10,9] som stedvektor for punktet P(10,9), kræver vi altså, at tangenthældningen (dy/dx) er lig hældningen af linjen, som indeholder punkterne (0,0) og (10,9); denne er 9/10, og derfor ønsket vi at løse ligningen
dy/dx = 9/10
med hensyn til parameteren t. Bemærk, at der _kun_ spørges til t-værdierne; det er altså unødvendigt efterfølgende at bestemme kurvepunkterne svarende til de fundne t-værdier.
//Epsilon
Skriv et svar til: Banekurve
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.