Studentereksamen Maj-Juni 2005-8-3

Hvis ikke.. Er der så nogen der kan svare mig på, om opgave 6, hvor jeg skal beregne antallet af reder på det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af reder er størst, kan regnes UDEN grafregner?

Louise

Har ikke opgaven, men hvis N(t) er antallet af reder til tiden t, og du har en differentialligning dN/dt, som N(t) opfylder, så gør følgende:

Bestem maksimum for dN/dt (vækshastigheden) ved at løse følgende for N:

d^(2)N/dt^(2) = 0

Løsningen er det ønskede svar. Husk desuden fortegnslinje for d^(2)N/dt^(2) for.

.. at indse, at du har fundet maksimum.

En løsning til differentialligningen er en funktion N(t).
Den angivne differentialligning kaldes den logistiske ligning og skrives ofte på formen
y' = ay(M – y) hvor M = b / a kaldes mætningsnivauet. Dens løsning bliver
N(t) = M/(1+C*e^(-Mat)).
Du kender M og a, t og N hvoraf C findes.
Husk dog på at t måles efter 1978 dvs for 1992 er t=14 og N(14) = 33500
Da du nu har løsningen indsættes N(t) = 63000 og t findes (år efter 1978)
Når du skal finde største værdi, da differentier N(t) og sæt =0. Men den har du jo allerede givet ved dN/dt. Find så N for dN/dt = 0.
Endelig findes det redeantal som udviklingen vil stoppe på ved at sætte t=oo.
Derved fås N(oo) = M/(1+C) idet e^(-Mat) -> 1 for t->oo.

#4,
"Når du skal finde største værdi, da differentier N(t) og sæt =0. Men den har du jo allerede givet ved dN/dt. Find så N for dN/dt = 0."

Du har misforstået opgaven. Det er ikke N(t), der skal maximeres, men derimod væksthastighen N'(t).


#1,
Da y' = ay(M-y) er y''=aM-2ay.
Løs så y''=0 til y=M/2. Da y' er en surt parabel, er dette ekstrama det globale maksimum.

Dermed er væksthastigheden y' maksimal, når N(t)= M/2 = 66750/2 = 33375.