fordoblingskonstant_2

Fordoblingskonstant_2

opsamling:
i en
eksponentiel udvikling
y=b*a^t, hvor t: er tiden

ønskes FORDOBLINGSKONSTANTEN fundet:

da a^t = e^(lna*t) (definitionen på a^t)

kan udtrykket skrives
y=b*e^(ln(a)*t)…………da a er en konstant, er lna en konstant, hvoraf k=lna

y=b*e^(k*t)

på et tidspunkt to er
I: yo=b*e^(k*to).
Hvor lang tid forløber, før y-værdien fordobles – bliver til 2yo?
Den forløbne tid kaldes delta_t.
II: 2yo=b*e^(k*(to+delta_t)

II divideres med I og giver
2=e^(k*(to+delta_t)/e^(kto)
eller
2=e^(k*(to+delta_t)-kto)
2=e^(k*to+k delta_t-k*to)
2= e^(k delta_t),
hvoraf
ln(2)=k*delta_t

k=ln(2)/delta_t
Tiden, delta_t, hvori y-værdien fordobles kaldes sædvanligvis T,

hvorfor
k=ln(2)/T indsættes nu i I

it goes
y=b*e^( ln(2)/T)*t,
eller
y=b*e^[ln(2)*t/T]

y=b*[e^(ln(2)]^(t/T)

y=b*2^(t/T) eller

y=b*2^n, hvor n =t/T er antal fordoblingstider (ikke nødvendigvis et helt tal!)

eks.: hvad vokser y til efter 5 fordoblinger?
y=b*2^5=32*b


…nogle steder har jeg skrevet ln(a) og andre – hvor misforståelse ikke skønnedes mulig – blot lna!