Matematik

logaritmeregneregler

18. juni 2006 af ka140287 (Slettet)

Hej

Jeg skal lige have afkræftet eller bekræftet min teori..

En af logaritmeregne regelerne ser således ud: ln(x*y)=ln(x)+ln(y)

beviset for denne regel:

x*y=x*y

x*y=e^ln(x)*e^ln(y)

osv..
...

begrundelsen for at vi "bare" kan opløfte e i ln(x) osv. er det ikke fordi at e og ln egentlig udligner hinanden??

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. juni 2006 af lany (Slettet)

Ja, den valgte fremgangsmåde KAN føre frem til det rigtige, men det afhænger naturligvis af, hvordan du har tænkt dig at fortsætte....

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. juni 2006 af martinrv (Slettet)

Jo, præcis...
e^x og ln(x) er hinandens omvendte funktioner. Altså udligner de hinanden...

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

Hmm, det er rigtigt nok, at e og ln annullerer hinanden, men jeg er ikke sikker på at den omskrivning du laver der er helt lovlig.

Vi har x*y = e^ln(x*y), men jeg kan ikke se hvordan du kommer derfra og til e^ln(x)+e^ln(y).

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. juni 2006 af lany (Slettet)

#3: Man skal ikke frem til e^ln(x)+e^ln(y) (det er nemlig ikke rigtigt) - der står e^ln(x)*e^ln(y), hvilket er det samme som x*y. Herefter benyttes potensregneregler til at samle eksponenterne...

Svar #5
18. juni 2006 af ka140287 (Slettet)

Mit bevis fortsætter så ledes:

1. x*y=x*y

2. x*y=e^ln(x)*e^ln(y

3. x*y=e^ln(x)+ln(y)

4. e^ln(x*y)=e^ln(x)+ln(y)

5. ln(x*y)=ln(x)+ln(y)

mellem 2. og 3. trin benytter jeg en potensregneregel. Fra 3. til 4. trin er begrundelsen så at e^ln(x*y)=ln(x*y)fordi e og ln udligner hinanden. og begrundelsen bag det sidste trin er når der er samme grundtal så må eksponenten også være lig med hinanden... eller hvad?? nogle der har bevist på en anden måde??

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. juni 2006 af lany (Slettet)

#5: Du laver et par fejl. De sidste trik skal være som følgende:

3. x*y=e^(ln(x)+ln(y))

4. ln(x*y)=ln(e^(ln(x)+ln(y)))

5. ln(x*y)=ln(x)+ln(y)

Overvej, at dette er forskelligt fra dit forslag, og at det er korrekt.

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. juni 2006 af Waterhouse (Slettet)

Tja, for at gå fra 4 til 5 kan du egentlig bare tage ln på begge sider, så annulerer den e^.

Det bevis jeg plejer at huske (fordelen ved det er, at vi ikke behøver at have defineret funktionen e^):

Lad G(x)=ln(a*x)

G'(x) er så 1/x. (vha. differentation af sammensat funktion). Altså har vi, at G(x) er en stamfunktion til 1/x. Men da ln(x) også er en stamfunktion til 1/x, må det gælde at:

G(x)=ln(x)+k <=>
ln(a*x)=ln(x)+k. (1)

Sætter vi nu x=1, får vi:

ln(a)=ln(1)+k <=>
ln(a)=k

Dette indsættes i 1:

ln(a*x) = ln(x)+ln(a). Skriver nu b i stedet for x, har vi vist hvad vi ønskede.

Skriv et svar til: logaritmeregneregler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.