Hjælp til optimeringsopgave

Husk at ellipserne er niveau-kurver for f - d.v.s. kurver i xy-planen langs hvilke f antager een og samme værdi. (Der er i øvrigt et par cut'n'paste fejl i angivelsen af din N2).

Det ideelle ville så vidt jeg kan se, være at (x, y) = (350, 200), ikke (350, 50). Dette bygger jeg på, at jo mindre ellipser, jo større værdi for f - dette bør du overbevise dig selv om.

Det betyder at du skal finde den mindst mulige ellipse, der har et punkt til fælles med dit lovlige område.

Hvordan dette skal gribes an afhænger lidt af hvilke teknikker du behersker. Siger "gradient" dig noget?

"Hvordan dette skal gribes an afhænger lidt af hvilke teknikker du behersker. Siger "gradient" dig noget?"

Nej det gør det desværre ikke, du har ret i, at (350, 200) ville være det optimale idet det er i centrum den maksimale dækningsbidrag findes.

Mit problem er, at man ved at gøre ellipsen større først skære begrænsningen y=50, og det betyder samtidigt at de følgende punkter man får i takt med man går ellipsen større ikke ligger i punktmængden.

OK, nu forstår jeg hvordan du er kommet til at tænke på (350, 50)... men dette punkt er komplet irrelevant, da det ikke opfyder ALLE afgrænsningerne.

Det er KUN din skraverede trekant, der udgør dine mulige (d.v.s. "tilladte") punkter. Derfor skal du finde det punkt i trekanten eller på trekantens rand, hvor f når sin største værdi. Da en bestemt ellipe svarer til en bestemt værdi af f, og da denne værdi bliver des større jo mindre ellipse vi taler om -så bliver det noget med at finde den mindst mulige ellipse, der har et punkt til fælles med trekanten. Af figuren kan man se, at det bliver en ellipse, der tangerer trekantens skrå side.

Gradienten opstår, når man differentierer en funktion af flere variable (her to variable) m.h.t. hver af de variable efter tur. Det giver lige så mange afledede, som der er variable, og disse kan opfattes som koordianter i en vektor - denne vektor kaldes gradienten. Muligvis kan den hedde noget andet - stadig ingen klokke, der ringer?

Hvis ikke, så har I nok ikke haft om det, og så må jeg spørge om du kender til at differentiere? For så har jeg et andet forslag...

differentiere, ja det behersker jeg da :-)

Hvis jeg sætter ellipsefunktionen = -x+300 får jeg et nyt optimum til (211,11; 88,88) synes bare ikke det lyder som et facit...

Nu ved jeg ikke helt, hvad du mener med at "sætte ellipsefunktionen = -x+300".

Hvad jeg havde i tankerne var at sætte (300 - x) ind på y's plads i din funktion f. Denne manøvre "binder" os så at sige til kun at se på f på trekantesn skrå side, og punkterne er "styret" af x.

Derfor kan du differentiere dette nye udstryk m.h.t. x, løse for 0 og så konstatere, at der er et ekstremumspunkt i løsningen. At det så er et maksumums punkt følger af alle de andre overvejelser.

Jeg har også fået x = 1900/9 = 211,11 - så mon ikke det er noget lignende du har gjort?

Dette punkt fungerer da fint som facit? (Eller har du en facitliste, som siger noget andet?) Hvis du beregner f i dette punkt og konstruerer den tilsvarende ellipse, så burde ellipsen netop tangere den skrå side.

jeg mente som du sagde, at sætte y=-x+300 ind på y's plads.

Grunden til facit undre mig er bare, at det drejer sig om styks, og derfor vel blive et skævt antal, men det er da meget muligt vi er kommet frem til det rigtige resultat.

Jeg skal så nu finde ud af mindsteværdien for f, hvilket må betyde db=0

så går jeg udfra jeg skal sætte

f(x,y)= -4x²+2800x-5y²+2000y=0

kan dette passe

nej det kan ikke passe :-)

Åhja, det godt med folk, der tænker praktisk! Matematikere har det jo med at glemme hvad den probelmstilling handler om, som de regner på, i dette tilfælde, at det jo er styks!

Du (vi) bliver fanget i at vi jo laver en model, hvor vi regner kontiunert, d.v.s. differentierer o.s.v. Alt det kan man jo slet ikke, hvis vi kun regner med hele tal... Enhver model vil så godt som altid afvige fra den virkelighed, som den er tænkt til at beskrive. En væsentlig forskel på din virkelighed og din model er at i virkeligheden sælges der kun hele styks, men i modellem regner du kontinuert. Med denne indsigt i forskellen på model og virkelighed, kan du ikke forvente, at modellen respekterer, at din virkelighed kun opererer med hele tal. Man må derfor altid vurdere sin models resultater kritisk i forhold til den virkelighed, der er regnet på.

Men modellen er nu en OK metode til at finde ud af sådan ca. hvor maksimum ligger: Du ved, at HVIS du havde lov til at regne kontinuert, SÅ ville maksimum være i (211.11, 88.88), og hvis du tænker på ellipserne som niveaukurver, vil du kunne indse, at det rigtige maksimum ligger lige i nærheden. Derfor kan du helt konkret udregne f i de punkter med heltalskoordinater, der ligger lige i nærheden af (211.11, 88.88) - inden for trekanten - og den, der har den største værdi ER maksimum.

M.h.t. mindsteværdien, så kan du bruge samme metode igen. Husk: jo større ellipse, jo mindre værdi af f. Den størst mulige ellipse, der har et punkt i trekanten, er en, som går gennem trekantens rette vinkel. Dette svarer også til heltallige koordinater: (100, 50). Altså ligger minimum her. OK?

Okay, mange tak for forklaringerne :-)

så kan jeg få det afsluttet, og komme videre med en IQ der nærmer sig normalen :D