Matematik

separation af diff. ligning

22. oktober 2006 af kitty_123 (Slettet)

Hej, jeg har prøvet at løse ligningen ved separation af variable men der går et eller andet galt i det..kan nogen fortælle mig hvor det går galt hos mig?..

diff. ligningen:

dx/dt=(x-2)*ln(t), der forudsættes t>0

dx=(x-2)*ln(t)dt <=>

1/(x-2)=ln(t)dt <=>

S1/(x-2)=Sln(t)+C <=>

ln(x-2)=1/t+C <=>

x-2=exp(1/t+C) <=>

x=exp(1/t+C)+2 <-- mit resultat ser lidt forkert ud..

og så skal vi også finde løsningen, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(1)=3..hvordan gør jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. oktober 2006 af Duffy

Jeg får

x(t) = 2 + e·(e·t)^t

Svar #2
22. oktober 2006 af kitty_123 (Slettet)

hvordan får du det???

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. oktober 2006 af mathon

...efter mange beregninger
får
jeg

x(t)=t^t*e^(-t)+2, t>0 hvoraf

I: x-2=t^t*e^(-t)

kontrol:

indledningsvis:

(t^t)' =(e^(t*ln(t))'=e^(t*ln(t)*(t*ln(t))'=

t^t*(1*ln(t)+t*1/t)=t^t*(ln(t)+1)

kort:
(t^t)' = t^t*(ln(t)+1)

dx/dt=(t^t)'*e^(-t) + t^t*(-e^(-t) + 0

dx/dt=t^t*(ln(t)+1)*e^(-t) - t^t*e^(-t) --> t^t*e^(-t) sættet udenfor en parentes

t^t*e^(-t)[ln(t)+1-1]= t^t*e^(-t)*ln(t),
hvoraf
i følge I:

t^t*e^(-t)*ln(t)=(x-2)*ln(t)

konklusion:

x(t)=t^t*e^(-t)+2, t>0 er løsningen til

dx/dt=(x-2)*ln(t), t>0

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. oktober 2006 af Duffy

Der var smuttet et fortegn. Her er den rigtige løsning der går gennem (1,3):

x(t) = 2 + t^t·e^(1-t)

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. oktober 2006 af mathon

rettelse til
#3

x(t)=t^t*e^(-t)+2, t>0 er løsningen til
dx/dt=(x-2)*ln(t), t>0

skal naturligvis være

x(t)=t^t*e^(-t)+2, t>0 er en løsning til
dx/dt=(x-2)*ln(t), t>0
og
samtlige løsninger
er

x(t)=t^t*e^(-t)+2 + k, t>0

løsningen ti

x(1)=t^t*e^(-t)+2 + k = 3
er

x(t)=t^t*e^(-t)+ 3-e^(-1)

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. oktober 2006 af Duffy

#5: Beklager mathon.

Dine udregninger er forkerte.

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. oktober 2006 af mathon

x(t)=t^t*e^(-t)+3-e^(-1)

x(1)=1^1*e^(-1)+3-e^(-1)

x(1)=e^(-1)+3-e^(-1) = 3

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. oktober 2006 af Duffy

Og??!

Du udregner k på 'det forkerte tidspunkt' i

x(t)=t^t*e^(-t)+2 + k, t>0 ...

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. oktober 2006 af mathon

#8 Sorry

...du har ret!!!

efter fornyet gennemregning
må jeg korrigere til

x(t)=C*t^t*e^(-t)+2 (C-et "smuttede" i de efterfølgende scriblerier).

denne ændring fører til

x(1)=C*1^1*e^(-1)+2=3

C*e^(-1)+2=3,
hvoraf
C=e,
der giver

x(t)=e*t^t*e^(-t)+2

x(t)=t^t*e(1-t)+2,
hvilket er din løsning,

...så jeg bøjer mig i respekt for din faglige kompetence...

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. oktober 2006 af mathon

#0
...hvad skal man dog mene om al den faglige udveksling?...

men jeg håber, du bliver klar over, at vi i ENIGHED!!! erklærer
til
dx/dt=(x-2)*ln(t), der forudsættes t>0
til at
være

x(t)=t^t*e(1-t)+2

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. oktober 2006 af mathon

men jeg håber, du bliver klar over, at vi i ENIGHED!!! erklærer
til

rettes til

men jeg håber, du bliver klar over, at vi i ENIGHED!!! erklærer løsningen
til

Brugbart svar (0)

Svar #12
23. oktober 2006 af Duffy

Okay, jeg takker for dine pæne ord.
Jeg kan da ind imellem osse selv komme til at lave en smutter.

Hilsen Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. oktober 2006 af mathon

#0
...det kniber sgu også med at skrive rent

x(t)=t^t*e^(1-t)+2

Skriv et svar til: separation af diff. ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.