Matematik

Optimering med f'(x)

07. november 2006 af PeteM_speedy (Slettet)

Hej derude..

Jeg er helt kold på den sidste opgave i min aflevering, så vil håbe, at der er nogen der kan give mig nogle indspark, så jeg kan komme i gang med denne irriterende opgave! :)

Her er hvad jeg ved..

En cylinder er indskrevet i en kugle (altså den er inde i en kugle) som har radiusen 3. Hvilken højde h skal cylinderen have for at dens rumfang bliver størst muligt?

Hjælp mig! :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. november 2006 af Kemiersjov (Slettet)

Tegn det op som et rektangen inde i en cirkel, hvor hjørnerne netop rører cirklen. Hvis du kender r i cirklen, kan du også finde diameter og højde på rektanglet. Brug disse relationer til beregne cylinderens volumen som funktion af dens højde og maksimer denne funktion ved differentiering.

Svar #2
07. november 2006 af PeteM_speedy (Slettet)

Er ikke helt sikker på jeg forstår helt.. Altså jeg ved at radius er 3 i kugler, og diameteren må så være 6 i kuglen.. Men efter det er jeg ikke med.. Hvordan finder jeg højden og maksimer via differentiering?

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. november 2006 af Kemiersjov (Slettet)

Vi kalder nu højden h og cylinderdiameteren d.

Da hjørnet af cylinderen netop rører kuglen, må afstanden fra centum til hjørnet være 3.

Kan du ud fra pythagoras bestemme en sammenhæng mellem h,d og kuglens radius på 3?

Svar #4
07. november 2006 af PeteM_speedy (Slettet)

Hmm, har sikkert fattet det helt forkert, men:

højde^2 + radius^2 = cylinderdiameter^2 ??

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. november 2006 af Kemiersjov (Slettet)

Betragt trekanten fra centrum og ud til cylinderens kant. Her gælder, at r^2 = (1/2 * h)^2 + (1/2 * d)^2

Da du kender r skal du bare finde en formel for volumen af en cylinder (se i den formelsamling). I denne formel indgår både h og d. Udtryk derfor d v.h.a. ovenstående formel og indsæt dette i din formel for volumen.

Nu har du en funktion, hvor V af cylinder er en funktion af h (og kun af h)

Differentier og maksimer denne funktion.

PS
h er højden af cylinderen
d er cynlinderens diameter
r er kugles radius (3 i dit tilfælde)

Svar #6
08. november 2006 af PeteM_speedy (Slettet)

Okay, er nået frem til følgende nu:

r^2 = (1/2 * h)^2 + (1/2 * d)^2
9 = (1/2 * h)^2 + (1/2 * d)^2

Volumen af cylinder:
Pi * r^2 * h
Pi * (1/2 * d)^2 * h
Pi * 9 - (1/2*h)^2 * h

Hvordan kommer jeg så videre nu?

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. november 2009 af NN1 (Slettet)

Kunne virkeligt også godt bruge en der kunne gennemgå hele opgaven,

Kan virkeligt heller ikke finde ud af det :S

Skriv et svar til: Optimering med f'(x)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.