Matematik
Bevis for toppunkt findes i f'(x) = 0
12. november 2006 af
hydrogen (Slettet)
Hvordan vil et bevis for, at der vil være en vandret tangent i toppunktet for en differentiabel funktion, se ud?
Sagt på en anden måde: vil det være muligt for en gymnasieelev at forstå det?
Min matbog skriver: "Et egentlig bevis for sætning 7a og 7b [henvisning til sætning om f'(x) = 0 i lokalt ekstremum] er temmelig vanskeligt..."
(Har søgt på wikipedia og mathworld, men kan ikke umiddelbart finde noget...)
Sagt på en anden måde: vil det være muligt for en gymnasieelev at forstå det?
Min matbog skriver: "Et egentlig bevis for sætning 7a og 7b [henvisning til sætning om f'(x) = 0 i lokalt ekstremum] er temmelig vanskeligt..."
(Har søgt på wikipedia og mathworld, men kan ikke umiddelbart finde noget...)
Svar #1
12. november 2006 af hydrogen (Slettet)
Fra Gyldendals Gymnasiematematik:
"I et toppunkt for en differentiabel funktion har grafen vandret tangent." (sætning 7a)
"Hvis en differentiabel funkton f(x) har lokalt ekstremum i x_0, hvor x_0 ikke er et intervalendepunt, så er f(x_0) = 0." (sætning 7b)
"Et egentlig bevis for sætning 7a og 7b er temmelig vanskeligt, men heldigvis forekommer selve indholdet selvindlysende: Hvor en kurve har "top" (eller "bund"), må der være en vandret tangent."
"I et toppunkt for en differentiabel funktion har grafen vandret tangent." (sætning 7a)
"Hvis en differentiabel funkton f(x) har lokalt ekstremum i x_0, hvor x_0 ikke er et intervalendepunt, så er f(x_0) = 0." (sætning 7b)
"Et egentlig bevis for sætning 7a og 7b er temmelig vanskeligt, men heldigvis forekommer selve indholdet selvindlysende: Hvor en kurve har "top" (eller "bund"), må der være en vandret tangent."
Svar #2
12. november 2006 af Vegeta (Slettet)
Det lyder mystisk at din bog skriver det, for det er relativt let at bevise.
Start med definitionen af differentiabilitet i x0, som
f'(x0) = lim{x->x0} (f(x)-f(x0))/(x-x0)
Du kan bevise sætning 7b ved at antage at f'(x0) =! 0 og betragte brøken (f(x)-f(x0))/(x-x0). Antag at f'(x0) < 0 eller f'(x0) > 0 og se på konsekvenserne heraf. Du skulle gerne komme til den konklusion at punktet (x0,f(x0)) hverken kan være et lokalt max eller lokalt min, under den antagelse. Du skal naturligvis også huske (benytte) definitionen af lokalt ekstremum.
Start med definitionen af differentiabilitet i x0, som
f'(x0) = lim{x->x0} (f(x)-f(x0))/(x-x0)
Du kan bevise sætning 7b ved at antage at f'(x0) =! 0 og betragte brøken (f(x)-f(x0))/(x-x0). Antag at f'(x0) < 0 eller f'(x0) > 0 og se på konsekvenserne heraf. Du skulle gerne komme til den konklusion at punktet (x0,f(x0)) hverken kan være et lokalt max eller lokalt min, under den antagelse. Du skal naturligvis også huske (benytte) definitionen af lokalt ekstremum.
Svar #3
12. november 2006 af hydrogen (Slettet)
Hmmm... "er det bare det?!"
Nå, jaja, tak for det :)
Nå, jaja, tak for det :)
Skriv et svar til: Bevis for toppunkt findes i f'(x) = 0
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.