Matematik

Differentialligning v. panser-metoden

15. november 2006 af Lehatti (Slettet)

En spænding over en kondensator bestemmes ved diff. lign. R*C*(dV/dt) + V = cos(2t)

Jeg skal finde den fuldstændige løsning, mit spørgsmål er blot hvad jeg gør med konstanterne R og C?

Jeg har
p(t) = 1 (da V står "alene")
q(t) = cos(2*t)

Dette indsætter jeg i min formel,
(int(q(t)*exp(P(t)),t)+c)*exp(-P(t))

og får ved maple:
2/5*cos(t)^2-1/5+4/5*sin(t)*cos(t)+c/exp(t)

Men hvad er det så lige med min konstanter R*C!.. Nogen der har et bud?

På forhånd, tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. november 2006 af sigmund (Slettet)

Panserformlen antager vistnok, at koefficenten foran den 1. afledte er 1. Derfor kan du dividere gennem med R*C, og få ligningen på formen

dV/dt + 1/(R*C)*V = 1/(R*C)*cos(2t).

Dvs. at din p(t) bliver 1/(R*C) og din q(t) 1/(R*C)*cos(2*t). Dermed har du også R og C med i din løsning. (Du undrede dig nok over, hvorfor de ikke var med i løsningen.)

Svar #2
15. november 2006 af Lehatti (Slettet)

Oh, okay. Mange tak for svaret. :)

Svar #3
15. november 2006 af Lehatti (Slettet)

For ikke at spamme med nye indlæg, kan jeg ligeså godt spørge her igen:
Opg. LA 7.25

Der er givet
1 a-1 0
A = 1 -1 0
0 0 1

2) For hvilke værdier af a_> 0 er A similær med en diagonalmatrix? Angiv for enhver af de fundne værdier af a en diagonalmatrix som A er similær med.

Hvordan skal jeg stille skidtet op for at finde a?.. Det skal lige siges at det skal afleveres som en maple-session.

Håber jeg kan få hjælp endnu engang. På forhånd, tak!

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. november 2006 af sigmund (Slettet)

Jeg går ud fra, at du sidder med Jens Eisings Lineær Algebra bog. Der er en Sætning 7.11, s. 203, der siger, at similære matricer har de samme egenværdier. For en diagonalmatrix kan egenværdierne læses af diagonalen. Derfor vil A være similær med en diagonalmatrix, hvis diagonal består af egenværdierne for A.

I Maple kan du spørge om egenværdierne af A, og så får du tre tal. Disse tre tal udgør diagonalen i en diagonalmatrix, der er similær med A.

Er du med?

Svar #5
15. november 2006 af Lehatti (Slettet)

Hmm, jeg er stadig ikke med på hvordan jeg skal finde deciderede værdier for a. Jeg har skam brugt eigenvalues kommandoen, så en diagonalmatrice kan opstilles ud fra A's egenværdier.. men derfra og så til at angive værdier for a der er similærer med en diagonalmatrix, der må jeg erkende at jeg står fra.

Svar #6
15. november 2006 af Lehatti (Slettet)

Men ja, det er helt korrekt. Jeg bruger Eisings fine bog!

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. november 2006 af sigmund (Slettet)

Du kan bare sige, at for alle a >= 0 er A similær med en diagonalmatrix, nemlig den diagonalmatrix, hvis diagonal består af egenværdierne for A, lad os kalde den Lambda. Ifølge sætning 7.11 i før nævnte bog er A og Lambda således similære, thi de har samme egenværdier.

Svar #8
16. november 2006 af Lehatti (Slettet)

Er du sikker på at svaret er så simpelt? Jeg vil meget gerne tro på det, og forstår godt svaret, men virker spørgsmålet "Angiv for enhver af de fundne værdier af a en diagonalmatrix som A er similær med." så ikke meget misvisende eller forvirrende?

Eller er det bare mig? <,)

Svar #9
16. november 2006 af Lehatti (Slettet)

Eller vil det blot være en diagonalmatrice af mine egenværdier, jeg skal stille op?

Brugbart svar (0)

Svar #10
16. november 2006 af sigmund (Slettet)

Ja, den diagonalmatrix, der efterlyses i det andet spørgsmål er netop en diagonalmatrix med egenværdierne for A i diagonalen.

Svar #11
16. november 2006 af Lehatti (Slettet)

Jamen.. Endnu engang tak, Sigmund. :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
16. november 2006 af fixer (Slettet)

Pas nu på. Det er ikke rigtigt at to maticer er similære hvis de har samme egenværdier. Et modeksempel er matricen A

(2 1)
(0 2)

At spørge om A er similær med en diagonalmatrix D er det samme som at spørge om den findes en invertibel matrix P, sådan at A = P^(-1)DP.

Antag at P findes. Så gælder

A-lambda*I =
P^(-1)DP-lambda*I =
P^(-1)DP-lambda*P^(-1)P =
P^(-1)(D-lambda*I)P

altså at A-lambda*I er similær med D-lambda*I, hvor lambda er en egenværdi for A. De karakteristiske polynomier er derfor ens, hvorfor A og D har samme egenværdier. Eftersom egenværdierne af D netop er diagonalelementterne, og da A kun har egenværdien 2, så må gælde (idet de har de samme egenværdier) at D er lig med

(2 0)
(0 2)

= 2*I

Derfor må vi have A = P^(-1)DP = 2I hvilket ikke er sandt.

I begår en fejlslutning når i udfra det faktum, at to similære matricer har samme egenværdier, slutter, at to matricer med samme egenværdier er similære. Det er ikke korrekt.

Der kan _ikke_ sluttes den anden vej.

Derimod gælder, at:

En vilkårlig nxn-matrix er similær med en nxn diagonalmatrix hvis og kun hvis den har n lineært uafhængige egenvektorer.

Så opgaven er i virkeligheden at bestemme de positive værdier for a, for hvilke A har 3 distinkte egenværdier.

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. november 2006 af fixer (Slettet)

Ifald det ikke fremgår tydeligt af #12 så er i kommet frem til noget forkert.

Jeg håber, den oprindelige spørger kommer forbi og får rettet fejlene, og en forståelse for hvorfor det er forkert.

Skriv et svar til: Differentialligning v. panser-metoden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.