Matematik

TRICKY cirkel/tangent

16. november 2006 af tralalalala (Slettet)

I et koordinatsystem med begyndelsespunkt 0 er der givet punkterne A(4,1) og B(4,-1). Linjen gennem 0 og A kaldes l, og linjen gennem 0 og B kaldes m. En cirkel har både l og m som tangenter, og tangenternes røringspunkter med cirklen er A og B.
Bestem en ligning for cirklen.

Jeg fårstår ikke hvordan dette kan lade sig gøre, for én cirkel kan da ikke have både A og B som røringspunkter for to tangenter, når |lm| her udgør en lige linje..

Hvordan griber man det hele an??

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. november 2006 af mathon

linjer gennem (0,0) har ligningen y=ax

l: 1=a*4,
hvoraf
a=1/4 og

l: y=(1/4)x

m: -1=a*(4)
a = -1/4
og
m: y = -1/4x

Svar #2
16. november 2006 af tralalalala (Slettet)

mange tak, men hvad nu når man kender tangenternes hældningskoefficienter, hvordan finder man så cirklens ligning?

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. november 2006 af mathon

|AB| = sqr((4-4)^2+(-1-1)^2) = 2

af kordeformlen

k=2r*sin(v/2)
fås

2=2r*sin(v/2)
eller
r=1/*sin(v/2)

da -folkeskolegeometri - radierne står vinkelret på tangenterne i røringspunkterne, er de normaler til linjerne. Vinklen mellem to linjers normaler er lig md vinklen mellem linjerne.

vinklen mellem l og m med hældningstal 1/4 og -1/4 se
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=265679

tan(u) = |(1/4-(-1/4)/(1+1/4*(-1/4)|,
hvoraf u_spids=28.0725 grader...(lav tegning og kontroller)

v=180-28.0725=151.928 grader

r=1/*sin(v/2)
eller
r=1/*sin(151.928/2)=75.9638=1.03078

cirklens ligning:

(x-c1)^2 + (y-c2)^2 = 1.03078^2
og
I: (4-c1)^2 + (1-c2)^2 = 1.03078^2
II: (4-c1)^2 + (-1-c2)^2 = 1.03078^2,
hvilket giver to ligninger med to ubekendte - c1 og c2 - af 1. grad, som du selv løser......

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. november 2006 af mathon

hvilket giver to ligninger med to ubekendte - c1 og c2 - af 1. grad, som du selv løser......

rettes til

hvilket giver to ligninger med to ubekendte - c1 og c2 - som du selv løser......

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. november 2006 af Lurch (Slettet)

Du kan også lave den vha differentialregning
du ved for hvilke koordinater (x,y) at dy/dx = 1/4 og -1/4. Dette kan give dig x-kordinaten for centrum, y koordinaten kan du argumentere for hvad skal være gennem liniernes symmetri.

et tip til differenrentiering af cirkelligningen er implicit differention.

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. november 2006 af mathon

eller
ligningen for linjen gennem centrum og (4,1) vinkelret på l
y = -4x+17

og

ligningen for linjen gennem centrum og (4,-1) vinkelret på m
y = 4x-17

disse to linjers skæringspunkt er centrum

af -4x+17 = y = 4x-17
fås
x = 17/4 og

y = 4*17/4-17=0

så centrum er (17/4,0)

(x-17/4)^2 + (y-0)^2 = 1.03078^2
eller

(x-17/4)^2 + y^2 = 1.03078^2

Skriv et svar til: TRICKY cirkel/tangent

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.