svær matopg.- potensrækkefremstilling

Dit sidste spørgsmål forstår jeg ikke til fulde. Jeg tror foraet har spist nogle af dine ulighedstegn. Derfor besvar jeg her kun dit spørgsmål om potensrækken for Besselfunktionen af første art og orden 0.

Som du nævner er J_0(x) løsning til differentialligningen

xy'' + y' +xy = 0

Lad

y = sum[n ≥ 0]c_n * x^n

være den søgte (absolut konvergente) potensrække. Ideen er at finde de absolut konvergente potensrækker for leddene xy'', y' og xy, addere dem ledvist (og argumentere for hvorfor man kan tillade sig det) og bestemme koefficienterne c_n således at ethvert led i sumrækken er 0, idet jo summen er nul.

Altså:

y' = sum[n ≥ 1]nc_n*x^(n-1)

y'' = sum[n ≥ 1]n(n-1)c_n*x^(n-2)

xy = sum[n ≥ 0]c_n*x^(n+1)

xy'' = sum[n ≥ 1]n(n-1)c_n*x^(n-1)

Ved addition af disse er det ønskeligt at kunne addere koefficienterne ledvist. Dertil må man sørge for, at alle tre rækker har samme potenser af x. Imidlertid involverer det n'te led i xy'' og y' potensen x^(n-1) hvorimod samme led i xy har potensen x^(n+1). Det repareres som følger:

xy'' = sum[n ≥ 0](n+1)nc_n*x^n

y' = sum[n ≥ 0](n+1)c_(n+1)x^n

xy = sum[n ≥ 1]c_(n-1)x^n

Dernæst bemærker man at rækken xy ikke har led for n=0, hvilket de to andre rækker har. Under additionen af rækkerne adderes derfor de to led fra y' og xy'' separat hvorefter alle tre rækker kan adderes ledvist for n ≥ 1:

xy'' + y' + xy =

c_1 + sum[n ≥ 1]((n+1)nc_(n-1)+(n+1)c_(n+1)+c_(n-1))x^n =

c_1 + sum[n ≥ 1]((n+1)^2c_(n+1)+c_(n-1))x^n

som er lig nul såfremt følgende betingelser er opfyldt

c_1 = 0, (n+1)^2c_(n+1)+c_(n-1) = 0 for n ≥ = 1

Omskriv rekursionen som

c_(n+1) = - c_(n-1)/(n+1)^2 for n ≥ 1 ⇔

c_n = -c_(n-2)/n^2 for n ≥ 2 (*)

hvoraf det, sammen med betingelsen c_1 = 0, fremgår, at alle led med ulige potenser n er identisk nul. Altså er y en potensrække med kun lige potenser

y = sum[k ≥ 0]c_(2k)x^(2k)

Slutteligt bestemmes c_n for lige indices n = 2k. Af (*) fås

c_(2k) = -1/(2k)^2*c_(2k-2)

= 1/[(2k)^2 * (2k-2)^2]*c_(2k-4)

= -1/[(2k)^2(2k-2)^2(2k-4)^2]*c_(2k-6)

:

= (-1)^k/[(2k)^2(2k-2)^2(2k-4)^2...(4^2)(2^2)]*c_0

= (-1)^k/[(2^k)k!]^2

= (-1)^k/[2^(2k)(k!)^2]*c_0

og derfor

y(x) = c_0*sum[k ≥ 0](-1)^k/(n!)^2 * (x/2)^(2k) (**)


Bemærk, at der er en løsning til Bessel's ligning for x > 0 som ikke er inkluderet i (**), nemlig

y(x) = y_0(x)log(x) + sum[m ≥ 1](-1)^(m-1)H_m/(m!)^2 * (x/2)^(2m)

hvor y_0(x) er potensrækkeløsningen (**) med c_0 = 1 og H_M = 1+½+...+1/m er den harmoniske sum. Den generelle løsning til Bessels ligning er en sum af potensrækkeløsningen og en konstant gange den nye løsning.

Dette er en TEST. Samme indlæg med lidt ekstra HTML-gejl.


-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.


Dit sidste spørgsmål forstår jeg ikke til fulde. Jeg tror foraet har spist nogle af dine ulighedstegn. Derfor besvar jeg her kun dit spørgsmål om potensrækken for Besselfunktionen af første art og orden 0.

Som du nævner er J_0(x) løsning til differentialligningen

xy'' + y' +xy = 0

Lad

y = ∑[n ≥ 0]c_n * x^n

være den søgte (absolut konvergente) potensrække. Ideen er at finde de absolut konvergente potensrækker for leddene xy'', y' og xy, addere dem ledvist (og argumentere for hvorfor man kan tillade sig det) og bestemme koefficienterne c_n således at ethvert led i sumrækken er 0, idet jo summen er nul.

Altså:

y' = ∑[n ≥ 1]nc_n*x^(n-1)

y'' = ∑[n ≥ 1]n(n-1)c_n*x^(n-2)

xy = ∑[n ≥ 0]c_n*x^(n+1)

xy'' = ∑[n ≥ 1]n(n-1)c_n*x^(n-1)

Ved addition af disse er det ønskeligt at kunne addere koefficienterne ledvist. Dertil må man sørge for, at alle tre rækker har samme potenser af x. Imidlertid involverer det n'te led i xy'' og y' potensen x^(n-1) hvorimod samme led i xy har potensen x^(n+1). Det repareres som følger:

xy'' = ∑[n ≥ 0](n+1)nc_n*x^n

y' = ∑[n ≥ 0](n+1)c_(n+1)x^n

xy = ∑[n ≥ 1]c_(n-1)x^n

Dernæst bemærker man at rækken xy ikke har led for n=0, hvilket de to andre rækker har. Under additionen af rækkerne adderes derfor de to led fra y' og xy'' separat hvorefter alle tre rækker kan adderes ledvist for n ≥ 1:

xy'' + y' + xy =

c_1 + ∑[n ≥ 1]((n+1)nc_(n-1)+(n+1)c_(n+1)+c_(n-1))x^n =

c_1 + ∑[n ≥ 1]((n+1)^2c_(n+1)+c_(n-1))x^n

som er lig nul såfremt følgende betingelser er opfyldt

c_1 = 0, (n+1)^2c_(n+1)+c_(n-1) = 0 for n ≥ = 1

Omskriv rekursionen som

c_(n+1) = - c_(n-1)/(n+1)^2 for n ≥ 1 ⇔

c_n = -c_(n-2)/n^2 for n ≥ 2 (*)

hvoraf det, sammen med betingelsen c_1 = 0, fremgår, at alle led med ulige potenser n er identisk nul. Altså er y en potensrække med kun lige potenser

y = ∑[k ≥ 0]c_(2k)x^(2k)

Slutteligt bestemmes c_n for lige indices n = 2k. Af (*) fås

c_(2k) = -1/(2k)^2*c_(2k-2)

= 1/[(2k)^2 * (2k-2)^2]*c_(2k-4)

= -1/[(2k)^2(2k-2)^2(2k-4)^2]*c_(2k-6)

:

= (-1)^k/[(2k)^2(2k-2)^2(2k-4)^2...(4^2)(2^2)]*c_0

= (-1)^k/[(2^k)k!]^2

= (-1)^k/[2^(2k)(k!)^2]*c_0

og derfor

y(x) = c_0*∑[k ≥ 0](-1)^k/(n!)^2 * (x/2)^(2k) (**)


Bemærk, at der er en løsning til Bessel's ligning for x > 0 som ikke er inkluderet i (**), nemlig

y(x) = y_0(x)log(x) + ∑[m ≥ 1](-1)^(m-1)H_m/(m!)^2 * (x/2)^(2m)

hvor y_0(x) er potensrækkeløsningen (**) med c_0 = 1 og H_m = 1+½+...+1/m er den harmoniske sum. Den generelle løsning til Bessels ligning er en sum af potensrækkeløsningen og en konstant gange den nye løsning.