Matematik

Mat opg

23. april 2007 af 3700-Line (Slettet)

Jeg er ikke med på nogen af de sørgsmål, nogen der vil hjælpe??

Antallet N af individer i en bestemt population forventes at vokse logistisk. Det antages derfor, at N er løsning til en differentialligning af typen:
dy/dt=ay(M-y),
hvor tiden t angiver antallet af år efter starttidspunktet.
Til starttidspunktet t = 0 er der 10000 individer i populationen, til tidspunktet t = 10 forventes populationen at være vokset til 32000 individer, og den øvre grænse for antallet af individer i populationen forventes at være 50000.

Bestem en forskrift for N som funktion af t.
Bestem det forventede antal individer i populationen til tidspunktet t = 18, og angiv populationens væksthastighed til dette tidspunkt.
Til hvilket tidspunkt forventes antallet af individer i populationen at være nået op på 48000?

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. april 2007 af mathon

find stamfunktion til dy/dt=ay(M-y)

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. oktober 2010 af Amalie3105 (Slettet)

Men hvad skal man putte ind hvor?

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. oktober 2010 af mathon

M = 50000

dy/dt = a·y·(50000 - y) med den fuldstændige løsning

y = 50000 / (1+C·e^-a·50000·t) med kravet

10000 = 50000 / (1+C·e^-a·50000·0)

1 + C·e⁰= 5

1 + C = 5

C = 4

dvs
y = 50000 / (1+4·e^-a·50000·t) med kravet

32000 = 50000 / (1+4·e^{-a·50000·10})

1+4·e^-a·500000 = 50/32 = 25/16

4·e^-a·500000 = 9/16

e^-a·500000 = 9/64

e^a·500000 = 64/9

5·10⁵·a = ln(64/9)

50000·a = 0,1·ln(64/9) ≈ 0,196166

hvorfor

y = 50000 / (1+4·e^-0,196166·t)

Brugbart svar (0)

Svar #4
31. oktober 2010 af mathon

eller da

50000·a = 0,1·ln(64/9) = ln((64/9)^0,1)

skrevet

y = 50000 / (1+4·e^{-ln((64/9)0,1·t})

y = 50000 / (1+4·(9/64)^0,1·t) uden afrunding

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. oktober 2010 af mathon

som med N-notation bliver

y = N(t) = 50000 / (1+4·(9/64)^0,1·t) ≈ 50000 / (1+4·e^-0,196166·t)

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. oktober 2010 af Amalie3105 (Slettet)

Mange tak :)

Skriv et svar til: Mat opg

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.