Matematik
differentialligning
29. april 2007 af
Misser (Slettet)
Hej... Er der nogle der måske har lyst til at hjælpe mig med en opgave jeg ikke helt forstår??
En funktion f er løsning til differentialligningen:
y'' = 1/4 y
Bestem em forskrift for f, idet det oplyses, at f(0) = 2 og f'(0)=0
Hvordan differentierer jeg den to gange, for det er da det jeg skal ik??
På forhånd tak
En funktion f er løsning til differentialligningen:
y'' = 1/4 y
Bestem em forskrift for f, idet det oplyses, at f(0) = 2 og f'(0)=0
Hvordan differentierer jeg den to gange, for det er da det jeg skal ik??
På forhånd tak
Svar #2
29. april 2007 af Sentinox (Slettet)
Du skal integrere to gange, så får du den fuldstændige løsning til differentialligningen.
Husk i denne sammenhæng, at hver gang du integrerer at få integrationskonstanterne med.
Ud fra randbetingelserne, kan du bestemme ´de to integrationskonstanter.
//Sentinox
Husk i denne sammenhæng, at hver gang du integrerer at få integrationskonstanterne med.
Ud fra randbetingelserne, kan du bestemme ´de to integrationskonstanter.
//Sentinox
Svar #3
29. april 2007 af Grud (Slettet)
Umiddelbart ville jeg forsøge med den løsning der er givet i formelsamlingen, nemlig:
y = c1e^(kx) + c2e^(-kx)
hvor der gælder k^2 = 1/4 <=> k = +-(1/2).. ved indsættelse af begge k finder man at:
c1e^(-x/2) + c2e^(x/2) = c1e^(x/2) + c2e^(-x/2)
og det er derfor ligemeget om den positive eller negative løsning af k vælges og endvidere må ligningen af løsning:
f(x) = c1e^(-x/2) + c2e^(x/2)
Her om ved vi, at f(0) = 2 <=>
c1e^(0/2) + c2e^(0/2) = 2
c1 + c2 = 2
Nu tager jeg finder jeg f'(x):
f'(x) = (-c1e^(-x/2) / 2) + (c2e^(x/2) / 2)
Jeg indsætter endvidere f'(0) = 0 <=>
(-c1e^(-0/2) / 2) + (c2e^(0/2) / 2) = 0
(-c1 / 2) + (c2 / 2) = 0
-c1 + c2 = 0
Jeg har nu to ligninger med to ubekendte nemlig:
-c1 + c2 = 0 og
c1 + c2 = 2
Denne løser jeg ved at sætte dem lig hinanden:
c2 = c1
c2 = 2 - c1
c1 = 2 - c1
2c1 = 2
c1 = 1
Endvidere finder jeg c2 ved at indsætte
1 + c2 = 2
c2 = 2 - 1 = 1
Det giver løsningen:
f(x)= e^(-x/2) + e^(x/2)
y = c1e^(kx) + c2e^(-kx)
hvor der gælder k^2 = 1/4 <=> k = +-(1/2).. ved indsættelse af begge k finder man at:
c1e^(-x/2) + c2e^(x/2) = c1e^(x/2) + c2e^(-x/2)
og det er derfor ligemeget om den positive eller negative løsning af k vælges og endvidere må ligningen af løsning:
f(x) = c1e^(-x/2) + c2e^(x/2)
Her om ved vi, at f(0) = 2 <=>
c1e^(0/2) + c2e^(0/2) = 2
c1 + c2 = 2
Nu tager jeg finder jeg f'(x):
f'(x) = (-c1e^(-x/2) / 2) + (c2e^(x/2) / 2)
Jeg indsætter endvidere f'(0) = 0 <=>
(-c1e^(-0/2) / 2) + (c2e^(0/2) / 2) = 0
(-c1 / 2) + (c2 / 2) = 0
-c1 + c2 = 0
Jeg har nu to ligninger med to ubekendte nemlig:
-c1 + c2 = 0 og
c1 + c2 = 2
Denne løser jeg ved at sætte dem lig hinanden:
c2 = c1
c2 = 2 - c1
c1 = 2 - c1
2c1 = 2
c1 = 1
Endvidere finder jeg c2 ved at indsætte
1 + c2 = 2
c2 = 2 - 1 = 1
Det giver løsningen:
f(x)= e^(-x/2) + e^(x/2)
Skriv et svar til: differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.