differentialregning ang. pyramide

Når du skriver at du har valgt at lave en pyramide med 4 emner som er lige store, så mener du vel at de 4 emner hver er en fjerdedel af en pyramide, eller ?

Altså at hvis du har en pyramide med spidsen opad, så deler du den med 2 snit, der står vinkelret på hinanden startende i toppen, eller ?

De 900 cm^3 er det for hele pyramiden eller for en af de 4 emner ?

Volumen er givet ved
1/3*A*h (kubikenheder)
Du laver et tværsnit i pyramiden i højden x fra grundplanet, så har forholdet mellem gundplanet og det snitplan, som du har valgt. Så gælder følgende relation:
(x/h) = A1/A2, altså den lille højde forholder sig til hele højden som det lille areal til det store.
Indse først det!!
Af den sidste ligning får du:
A(x) = (x/h)^2*A, hvor A er grundplanet

Nu kan du finde differentialvolumen:

dV = (x/h)^2*A*dx eller integralet:

V = integralet (fra 0 til h) af (x/h)^2A*dx = 1/3*A*h (kubikenheder), her øjensynlig 900 kubikcentimeter.

Du bliver nødt til at tegne en "gennemsigtig" pyramide for bedre at kunne se det.
Til sidst: formlem gælder også for en konus, en pyramide med mere ujævne former.

V.h.
Erik Morsing.

Gå det igennem punkt for punkt og gør brug af tegninger!!

til Svar#1

de fire emner er en fjerdedel af pyramiden

spidsen i toppen og deler den derfra i fire dele/emner.

de 900cm^3 er rumfanget for hele pyramiden.

Altså, de 900 cm^3, d.v.s 900/4 cm^3 til hver del kan du jo opnå på flere måder: du kan lave en spids pyramide med en lille grundflade og du kan lave en mindre spids pyramide med en bredere grundflade.
Spørgsmålet er så, hvad det samlede overfladeareal af en de klodser du skærer ud er. Hvis du laver snittene som 2 diagonalsnit, d.v.s du snitter ned så du følger diagonalerne i grundfladen, så kan du se at legemet du får er begrænset af 4 trekanetr:
En ligebenet trekant på "forsiden", 2 retvinklede trekanter på snitfladerne og een trekant i bunden, der også er retviklet og derudover ligebenet.
Dette er nemt at se hvis du tegner en pyramide op, og indtegner diagonalsnittene.

Nu kommer så den bøvlede del og det er at få sat mål på. Som anført i det første svar. så er rumfanget af pyramiden V= 1/3 * A * h. Hvis du kalder sidelængden i grundfladen for l, så kan dette skrives som:

V = 1/3 * l^2*h.



Du kan se af dette, at hvis du vælger et volumen, f.eks. 900 cm^3, så kan du udtrykke en af størrelserne på højre side ved den anden.

Du kunne f.eks udtrykke h ved l og V:

(V*3)/(l^2) = h

Hvis du nu opstiller et udtryk for arealet, der også er udtrykt ved l og h, så kan du bruge det ovenstående i denne ligning, og ender altså med en ligning med een ubekendt.

Man kan skrive arealet af en af delfigurerene som summen af arealet af de 4 trekanter, der udgør dens flader.

Prøv at opskrive et udtryk for arealerne af de 4 trekanter udtrykt ved l og h. Du skal bruge pytagoras sætning nogle gange for at finde udtrykkene..