Matematik
Householder reflection / transformation
12. maj 2007 af
hund (Slettet)
Skal dokumentere/bevise Householder transformationen, hvor man omdanner en symmestrisk matrix til en tridiagonal matrix. Er der nogen, der har beskæftiget sig med Householder, som evt. gad hjælpe mig med et ikke alt for matematisk tungt bevis. Skal egentlig helst bare bevise hvorfor:
A_1 = H_2*A_0*H_2 = A_0-2*w_2*q^T-2q*w_2^T
hvor:
A_1, H_2 og A_0 er matricer
og
w_2 og q er vektorer.
"^T" betyder den transponerede.
Jeg ved, at ovenstående virker forvirrende, men håber, at folk, der har beskæftiget sig med Householder kan genkende bare en smule.
PFT
hund
A_1 = H_2*A_0*H_2 = A_0-2*w_2*q^T-2q*w_2^T
hvor:
A_1, H_2 og A_0 er matricer
og
w_2 og q er vektorer.
"^T" betyder den transponerede.
Jeg ved, at ovenstående virker forvirrende, men håber, at folk, der har beskæftiget sig med Householder kan genkende bare en smule.
PFT
hund
Svar #1
12. maj 2007 af sheaf (Slettet)
Householders matrix har formen
hvor w er en vektor med norm 1 (d.v.s. længde 1). Defineres skalaren
kan vi i stedet skrive
som har den fordel, at u nu kan være en vilkårlig vektor - nævneren K sørger automatisk for normeringen.
Tricket i Housholderreflektionerne består i successivt at beregne de ortogonale transformationer
idet effekten ved det i'te skridt er at det korrekte antal elementer i rækker i og søjle i nulstilles.
I stedet for at gennemføre alle disse ortogonale transformationer kan vi beregne vektoren
Så er
=\mathbf{a}-\mathbf{h}\cdot\mathbf{u}^{t}$)
så
hvor Q er en skalar bestemt ved
Dernæst tilbagestår blot at definere
Indsæt dette udtryk i ligningen ovenover, og resultatet foreligger.
Og nu håber jeg så ikke foraet spunker LaTeX'en...
hvor w er en vektor med norm 1 (d.v.s. længde 1). Defineres skalaren
kan vi i stedet skrive
som har den fordel, at u nu kan være en vilkårlig vektor - nævneren K sørger automatisk for normeringen.
Tricket i Housholderreflektionerne består i successivt at beregne de ortogonale transformationer
idet effekten ved det i'te skridt er at det korrekte antal elementer i rækker i og søjle i nulstilles.
I stedet for at gennemføre alle disse ortogonale transformationer kan vi beregne vektoren
Så er
så
hvor Q er en skalar bestemt ved
Dernæst tilbagestår blot at definere
Indsæt dette udtryk i ligningen ovenover, og resultatet foreligger.
Og nu håber jeg så ikke foraet spunker LaTeX'en...
Svar #2
12. maj 2007 af sheaf (Slettet)
Korrektioner:
I ligning 3 skulle venstresiden have været H og ikke P.
I allersidste definition af q have været boldface for at markere der er tale om en vektor.
Desforuden er jeg kommet til at anvende u hvor du bruger w, men det er blot at bytte symbolerne ud-
I ligning 3 skulle venstresiden have været H og ikke P.
I allersidste definition af q have været boldface for at markere der er tale om en vektor.
Desforuden er jeg kommet til at anvende u hvor du bruger w, men det er blot at bytte symbolerne ud-
Skriv et svar til: Householder reflection / transformation
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.