Matematik

Matematiktak!

16. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

"Gør rede for, at enhver funktion af typen

y=(10-ce^(-1/6t))^3

er løsning til diffentialligningen

dy/dt=5y^(2/3)-0.5y 0

Der må være en smart måde at lave det her på. Ville være fremragende hvis nogen kunne give mig den. Det bliver noget rod når man prøver at indsætte, så jeg tænkte på om man kunne argumentere sig til det.

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Bestem differentialkvotienten til y. Indsæt så y' på venstre side af differentialligningen og y på højre side. Vis til sidst at ligningen er sand.

Svar #2
16. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

jaeh - det er bare ret besværligt når det er sat i 3. Er der ikke en smartere måde?

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

jeg kigger lige på det.

Svar #4
16. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

Tænkte på at man måske kunne integere dy/dt og vise det på den måde...

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Det har jeg også kigget på, men jeg synes ikke rigtig det fører til noget brugbart.

Svar #6
16. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

Barh! Kan ikke få det til at fungere 8[

Nåeh - Brian har nok :P

Brugbart svar (0)

Svar #7
16. april 2004 af Brian (Slettet)

Sry, guys, there's no substitute for hard work!

Man kan selvfølgelig gange 3-potensen ud ( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ) og så differentiere løs - så får man hard work i rå mængder.

En smule smartere er at se det som noget sammensat:

h(s) = s^3,
g(t) = 10-ce^((-1/6)t),
y = h(g(t)),
h'(s) = 3s^2,
g'(t) = (c/6)e^((-1/6)t),

Når man så differentierer, så handler det om at få resultatet til at ligne noget med y så meget som muligt, så hurtigt som muligt.

Et hint: (s^3)^(2/3) = s^2

Svar #8
16. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

okay - mange tak! :)
Er lidt skuffet over dig - Havde regnet med du ville komme med et eller andet smart! ;-]

Brugbart svar (0)

Svar #9
16. april 2004 af Brian (Slettet)

Jamn, hvem er da også den nar, der har stillet sådan en møgopgave, hvor man ikke kan få lov til at være lidt smart???

Svar #10
16. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

PRÆCIS!! :P

Brugbart svar (0)

Svar #11
16. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Ja, der er ikke megen matematik i det, det er jo kun regning :-)

Brugbart svar (0)

Svar #12
16. april 2004 af Brian (Slettet)

Well, det kan gøres ved regning, men det er jo så kedeligt... og nu blev jeg alligevel provokeret lidt, og da vi jo i går så, at Mads^^ mestrer separation af variable, så er det faktisk også en mulighed simpelt hen at LØSE LIGNINGEN, der er dog en enkelt lille hurdle undevejs.

dy/dt = 5y^(2/3) - (1/2)y

divider hele højre siden over, og separer y og t:

[5y^(2/3) - (1/2)y]^(-1) * dy = 1*dt

Nu skal vi "bare" integrere, og her ligger den lille hurdle - at integrere venstre side m.h.t. y.

Men et trick er muligt: jeg vil gøre det med sammensat integration på s^(-1), men det ses, at jeg savner, at der ganges med ds/dy. Men det kan skaffes: inden i [...] er det y-potenser, deres afledede er også y-potenser, så måske kunne jeg dele eksponenterne og trække en y-potens ud af [...]^(-1), som netop svarede til den aflede af det der blev tilbage:

[5y^(2/3) - (1/2)y]^(-1) =
[y^(2/3)*( 5 - (1/2)y^(1/3) )]^(-1) =

(minus første tages på de to led)

y^(-2/3)*[( 5 - (1/2)y^(1/3) )]^(-1) =

(nogle faktorer passes til)

-6 * (-1/6)*y^(-2/3) * [( 5 - (1/2)y^(1/3) )]^(-1)

Så er vi klar: d/dy(- (1/2)y^(1/3)) = (-1/6)*y^(-2/3), og det har jeg skaffet mig udenfor.

Min separerede ligning ser nu således ud:

-6 * (-1/6)*y^(-2/3) * [( 5 - (1/2)y^(1/3) )]^(-1) * dy = 1*dt

og den er lige til at integrere: just do it!

Til sidst er det bare at få blommen ud af ægget uden at den går i stykker - husk regneregler for eksponential funktionen , og sæt c = 2*e^(-k/6).

Brugbart svar (0)

Svar #13
16. april 2004 af Brian (Slettet)

... hvor k er den der fremkommer på højre side: integralet af 1*dt = t + k.

Brugbart svar (0)

Svar #14
17. april 2004 af Dominik Hasek (Slettet)

Jamen er det ikke elegant!

Svar #15
17. april 2004 af Mads^^ (Slettet)

Han har gjort det igen :D!

Brugbart svar (0)

Svar #16
17. april 2004 af 404error (Slettet)

Det kan gøres noget nemmere. Hvis vi er lidt smarte og skriver højresiden af differentialligningen som

5y^(2/3)-0.5y=0.5y^(2/3)*(10-y^(1/3)),

så fås for den angivne funktion y at

10-y^(1/3)=ce^(-1/6t),

hvorefter det er umiddelbart, at y opfylder differentialligningen (differentiér som vanligt).

Brugbart svar (0)

Svar #17
18. april 2004 af Brian (Slettet)

Lovely!Så tror jeg ikke vi kan gøre det flottere!

Skriv et svar til: Matematiktak!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.