Matematik
Differentialligning
28. maj 2007 af
Pitzner* (Slettet)
Nogen der kan give et hint til at løse følgende opgave? :)
En funktion f er løsning til differentialligningen
y'=2x+5-y
og linjen med ligningen y=1 er tangent til grafen for f.
En funktion f er løsning til differentialligningen
y'=2x+5-y
og linjen med ligningen y=1 er tangent til grafen for f.
Svar #2
28. maj 2007 af Erik Morsing (Slettet)
Det er en såkaldt lineær 1- ordens differentialligning. Man skriver som regle på formen:
y'+f(x)*y = r(x) og løsningen er:
y(x) = e^(-h)*((integr(e^h*rdx)+C), hvor h=integr(f(x)dx)
Så er det bare at sætte ind og regne ud.
y'+f(x)*y = r(x) og løsningen er:
y(x) = e^(-h)*((integr(e^h*rdx)+C), hvor h=integr(f(x)dx)
Så er det bare at sætte ind og regne ud.
Svar #7
12. juli 2007 af Erik Morsing (Slettet)
Tricket går ud på først at løse den homogene ligning:
y'+f(x)*y=0, der har løsningen (du kan separere de variable):
y(x)=c*e^(integralet(f(x)dx).
Når du så skal løse den inhomogene ligning (den, du har skrevet), skriver du den på formen:
(f*y-r)dx+dy=0.
Hvis vi kan finde en integrationsfaktor F(x), der kun afhænger af x, så kan vi skrive:
F(x)*(f*y-r)+F(x)dy=0. Denne må være eksakt. Vi får nu:
d/dy(F(fy-r))=dF/dx, eller F(x)dy=0 (her er d/dy med krøllet d, altså en partiel afledet. Vi kan skrive den
F*f=dF/dx.
Så kan vi separere de varialbe og får:
ln!F!=integralet(f(x)dx, og videre:
F(x)=e^h(x), hvor h(x)=integralet(f(x)dx). Du ser nu, at F(x) er en integrationsfaktor af din ligning. Ganger du ligningen mede^h, fås:
e^h*(y'+fy)=e^h*r(x), og da h'=f, kan vi skrive:
d/dx(y*e^h)=e^h*r(x).
Så integrerer du på begge sider og får:
y*e^h=integralet(e^h*r(x)dx+c og endelig dividerer du på begge sider med e^h, og får den endelige formel:
y(x)=e^-h(integralet(e^h*r(x)dx+c),
h=integralet(f(x)dx.
Det er den generelle løsning, men da jeg kun har det fra hukommelsen, kan der være smuttet et eller andet, men regn det nu selv igennem.
y'+f(x)*y=0, der har løsningen (du kan separere de variable):
y(x)=c*e^(integralet(f(x)dx).
Når du så skal løse den inhomogene ligning (den, du har skrevet), skriver du den på formen:
(f*y-r)dx+dy=0.
Hvis vi kan finde en integrationsfaktor F(x), der kun afhænger af x, så kan vi skrive:
F(x)*(f*y-r)+F(x)dy=0. Denne må være eksakt. Vi får nu:
d/dy(F(fy-r))=dF/dx, eller F(x)dy=0 (her er d/dy med krøllet d, altså en partiel afledet. Vi kan skrive den
F*f=dF/dx.
Så kan vi separere de varialbe og får:
ln!F!=integralet(f(x)dx, og videre:
F(x)=e^h(x), hvor h(x)=integralet(f(x)dx). Du ser nu, at F(x) er en integrationsfaktor af din ligning. Ganger du ligningen mede^h, fås:
e^h*(y'+fy)=e^h*r(x), og da h'=f, kan vi skrive:
d/dx(y*e^h)=e^h*r(x).
Så integrerer du på begge sider og får:
y*e^h=integralet(e^h*r(x)dx+c og endelig dividerer du på begge sider med e^h, og får den endelige formel:
y(x)=e^-h(integralet(e^h*r(x)dx+c),
h=integralet(f(x)dx.
Det er den generelle løsning, men da jeg kun har det fra hukommelsen, kan der være smuttet et eller andet, men regn det nu selv igennem.
Skriv et svar til: Differentialligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.