Matematik
keglesnittes art
18. juni 2007 af
vegas9 (Slettet)
Hejsa
Er der nogen der kan hjælpe?
Opgaven lyder:
Bestem keglesnittes art og brændpunktsaksens vinkel i forhold til x-aksen.
(21/4)x^2 - 5/2*kvadratrod3xy + (31/4)y^2 -36 =0
Jeg har svært ved at se hvad den kan omskrives til.
Er der nogen der kan hjælpe?
Opgaven lyder:
Bestem keglesnittes art og brændpunktsaksens vinkel i forhold til x-aksen.
(21/4)x^2 - 5/2*kvadratrod3xy + (31/4)y^2 -36 =0
Jeg har svært ved at se hvad den kan omskrives til.
Svar #1
19. juni 2007 af sheaf (Slettet)
Enhver kvadratisk form
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
kan omskrives som en matrixligning
(x^T)Ax + Bx + f = 0
hvor A er en 2x2 matrix, B en 1x2 matrix og x^T = 8x y); T betegner transponeret.
A er altid symmetrisk og kan diagonaliseres. Diagonaliseringen er givet ved A=PDP^T hvor søjlerne i P indeholder egenvektorerne svarende til egenværdierne for A. Så
(x^T)Ax = (x^T)PD(P^T)x = (((P^T)x)^T)D((P^T)x)
og ved at vælge en ny matrixvariabel y = (x' y') = (P^T)x fås derfor
(x^T)Ax = (y^T)Dy (*)
Da D er en diagonalmatrix reducerer (*) til a(x')^2 + b(y')^2 hvor a og b er egenværdierne for A.
Geometrisk sker der det at koordinatsystemet roteres så keglensittet i det roterede system får en fremstilling uden xy-led. Akserne i det nye system er fastlagt ved egenvektorerne for A.
I det konkrete tilfælde fås omskrivningen
(x^T)Ax - 36 = 0
hvor A er matricen
( 21/4 -5sqrt(3)/4 )
( -5sqrt(3)/4 31/4 )
med egenværdierne 9 og 4. Prøv selv at bestemme egenvektorerne og fuldføre regningerne.
ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0
kan omskrives som en matrixligning
(x^T)Ax + Bx + f = 0
hvor A er en 2x2 matrix, B en 1x2 matrix og x^T = 8x y); T betegner transponeret.
A er altid symmetrisk og kan diagonaliseres. Diagonaliseringen er givet ved A=PDP^T hvor søjlerne i P indeholder egenvektorerne svarende til egenværdierne for A. Så
(x^T)Ax = (x^T)PD(P^T)x = (((P^T)x)^T)D((P^T)x)
og ved at vælge en ny matrixvariabel y = (x' y') = (P^T)x fås derfor
(x^T)Ax = (y^T)Dy (*)
Da D er en diagonalmatrix reducerer (*) til a(x')^2 + b(y')^2 hvor a og b er egenværdierne for A.
Geometrisk sker der det at koordinatsystemet roteres så keglensittet i det roterede system får en fremstilling uden xy-led. Akserne i det nye system er fastlagt ved egenvektorerne for A.
I det konkrete tilfælde fås omskrivningen
(x^T)Ax - 36 = 0
hvor A er matricen
( 21/4 -5sqrt(3)/4 )
( -5sqrt(3)/4 31/4 )
med egenværdierne 9 og 4. Prøv selv at bestemme egenvektorerne og fuldføre regningerne.
Skriv et svar til: keglesnittes art
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.