Matematik

Differentialkvotienter

07. oktober 2007 af Lucretia (Slettet)

En kurve er givet ved ligningen y= x^3 - 3x + 1 og har i punktet A(2,3) tangenten t. Opskriv en ligning for den linje n gennem A, der står vinkelret på t, når det gælder, at to linjer står vinkelret på hinanden, netop når produktet af deres hældningskoefficienter er -1. Sammen med x-aksen danner n og t en retvinklet trekant, bestem denne trekants areal.

Hvordan løser man opgaven?

Først ville jeg finde ligningen til tangenten, men jeg ved ikke helt... måske er det fordi at funktionen er en tredjegradsfunktion at jeg går lidt i stå. Jeg kunne virkelig bruge noget hjælp.

Tak på forhånd :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. oktober 2007 af Erik Morsing (Slettet)

find f'(2,3)og indsæt så punkterne i udtrykket for den rettelinie l alfa=(y-y_0)/(x-x-0). Linien, der står vinkelret på l har hældningekvotienten:
-1/alfa, så vidt jeg husker, ellers slå det lige efter.

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. oktober 2007 af peter lind

Dt spiller ikke nogen rolle om der er et andengrads polynomium, et tredjegrads polynomium eller noget helt tredje. Du skal blot finde hældningen af tangenten ved at differentiere y. Derefter bruger du den nævnte sætning om hældningskoefficienter, til at finde hældningen for linien n.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. oktober 2007 af mathon

y = f(x) = x^3 - 3x + 1

f'(x) = 3x^2-3

tangenten t har hældningskoefficienten f'(2) = ..............

den søgte linje har hældningskoefficienten a2, hvor det gælder, at

a2 * f'(2) = -1, hvoraf a2 beregnes....

ligningen for den søgte ortogonale linje:

(y-3)/(x-2) = a2.........

Svar #4
07. oktober 2007 af Lucretia (Slettet)

f'(2)=3

a2=-1/3

#3 Jeg forstår ikke det sidste med den ortogonale linje?!

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. oktober 2007 af mathon

f'(2) = 3*2^2-3 = 9

a2 * f'(2) = -1

a2 * 9 = -1, hvoraf

a2 = -(1/9), som indsættes i

(y-3)/(x-2) = a2, hvoraf

(y-3)/(x-2) = -(1/9), hvoraf

y = -(1/9)x + 29/9

Svar #6
07. oktober 2007 af Lucretia (Slettet)

Det vil sige den linje der står vinkelret på t.

Jeg kan også se at du har sat punktet A(2,3) ind, men hvad gør man derefter? For at finde ligningen?

Brugbart svar (0)

Svar #7
07. oktober 2007 af mathon

#4

for alle skrå rette linjer
gælder

delta_y/delta_x = hældningskoefficienten, hvorfor

(y-yo)/(x-xo) = -(1/9), som med udgangspunkt i A(2,3)
giver

(y-3)/(x-2) = -(1/9).........resten ses i #5

Svar #8
07. oktober 2007 af Lucretia (Slettet)

PÅ den måde, ja så er jeg med. Men hvordan bestemmer jeg så trekantens areal? Den ene side af trekanten må være 29/9 og den anden side?

Svar #9
07. oktober 2007 af Lucretia (Slettet)

29/9 * 2 * ½ = 3,2222

Er det rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. oktober 2007 af mathon

tangentligning:
(y-3)/(x-2) = 9, hvoraf

t: y = 9x-15, hvis skæring med x-aksen er (5/3;0))

n: y = -(1/9)x + 29/9, hvis skæring med x-aksen er (29;0))

t's skæringspunkt med n

9x-15 = -(1/9)x + 29/9 , hvoraf

x = 2 og y = 9*2-15 = 18 - 15 = 3

højden på hypotenusen er 3

hypotenusen = 29-(5/3) = 82/3

T = 0,5*3*82/3 = 0,5*82 = 41

Svar #11
07. oktober 2007 af Lucretia (Slettet)

Jeg forstår bare ikke hvordan vi kan være antage at skæring med x-aksen er (5/3;0) hvad angår t ?!
Det samme gælder med n, (29;0))?

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. oktober 2007 af mathon

det er IKKE antagelse men beregning:

skæring med x-asen vil sige y=0

t: y = 9x-15
0 = 9x-15
15 = 9x
5 = 3x
x = 5/3 --> (5/3;0)

n: y = -(1/9)x + 29/9
0 = -(1/9)x + 29/9
1/9)x = 29/9
x = 29 --> (29;0)

Skriv et svar til: Differentialkvotienter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.