Matematik

Serie for arcsinx

20. oktober 2007 af math-freak++ (Slettet)

Jeg skal udlede en uendelig serie for den inverse funktion af sinus. Jeg ved at sinx = sum(n=0 til oo) x^(2n+1)/(2n+1)!, men jeg ved ikke hvordan jeg udleder den inverse..

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Brug: arcsin(x)=integr(dx/(sqr(1-x^2))=x+1/2*x^3/3+1/2*3/4*x^5/5+1/2*3/4*
5/6*x^7/7+...
brug også at d(arcsin(x))/dx = (1-x^2)^(-1/2), der kan rækkeudvikles

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. oktober 2007 af Euler (Slettet)

Jeg går ud fra, at du mener sinx = sum(n=0 til oo) (-1)^n * x^(2n+1)/(2n+1)!, og ikke sinx = sum(n=0 til oo) x^(2n+1)/(2n+1)!.

Vi har, at arcsinx = S(0;x) 1/(1-t^2)^0,5 dt. Lad p = -0,5 i de binomiale serier:

I: (1-t)^(-0,5) = SUM(n=0;oo) t^n * [PRODUKT(n=0;oo) (2n-1)] / (n! * 2^n).
II: (1-t^2)^(-0,5) = SUM(n=0;oo) t^(2n) * [PRODUKT(n=0;oo) (2n-1)] / (n! * 2^n).

Hermed er arcsinx
= S(0;x) SUM(n=0;oo) t^(2n) * [PRODUKT(n=0;oo) (2n-1)] / (n! * 2^n)
= [SUM(n=0;oo) t^(2n+1) * [PRODUKT(n=0;oo) (2n-1)] / ((2n+1) * n! * 2^n) ] (0 til x)
= SUM(n=0;oo) x^(2n) * [PRODUKT(n=0;oo) (2n-1)] / (n! * 2^n).

Svar #3
20. oktober 2007 af math-freak++ (Slettet)

Nice! Den skulle også gi'
arcsinx = SUM(n=0;oo) x^(2n) * [PRODUKT(n=0;oo) (2n-1)] / (n! * 2^n).

Skriv et svar til: Serie for arcsinx

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.