Matematik

Løsning af differentialligning

20. oktober 2007 af kranz (Slettet)

Hej,

Jeg skal løse denne følgende differentialligning:

dP-/dz = alfa * P- - gamma * P+

Ved at finde et udtryk for P-(z = 0).

Det er oplyst, at det er en første ordens inhomogen differentialligning, og så er der givet et forslag til, hvilken form løsningen kunne være på.

Det, jeg søger, er en metode til løsning af denne type differentialligning, for jeg ved pt. ikke en gang hvordan jeg skal starte...

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2007 af peter lind

Du må redegøre lidt mere for hvad de forskelllige variable står for. Som det står indgår jo intet af det der er på venstre side i højre side.
Hvis du har et forslag til formen for løsningen, må du sætte det ind i differentialligningen. Dette burde så give en ligning for nogle parametre, som du så må finde.

Svar #2
20. oktober 2007 af kranz (Slettet)

Okay, kan godt se, det var en lidt tynd forklaring. Det er en beskrivelse af Tilbagespredt lys ved Rayleigh Spredning i Optiske Fibre. P^- beskriver det tilbagespredte lys, P^+ det fremadspredte lys. alfa er en tabskoefficient.

Det tip, jeg er givet, er, at løsningen kunne være på formen:

P^-(z) = e^alfa*z {gamma * P_0 *((e^(-2*alfa*z))/2*alfa)+c , hvor c er en integrationskonstant, som senere kan bestemmes.

Det, som forvirrer mig, er tuborgparanteserne i løsningsforslaget. Skal de bare ses som almindelige paranteser, eller...? Hvis ja, hvordan kommer jeg så videre?

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. oktober 2007 af peter lind

Jeg er stadig forvirret.

I differrentialligningen skal det på højre side så læses alfa*(P-) - gamma*(P+) hvor P- og P+ er de søgte funktioner ? Hvis det er tilfældet er der ikke nok til at løse differentialligningen idet P+ er aldeles ubestemt.

Din tuborgparantes har ikke en slutparantes. Kan det skyldes at der er forskellige løsninger på hver side af en grænseflade ?

Svar #4
20. oktober 2007 af kranz (Slettet)

Det er nok et resultat af, at jeg selv er forvirret. Men tror jeg har lidt mere overblik over det nu. Følgende er givet (Som jeg ser det):

P_in / P_out = e^(alfa*(z_0-z)
P+(z) = P_out
P_in = P+(z) + P-(z)

Af ovenstående findes et udtryk for P_out.

Herefter er givet differentialligningen:

dP-(z) / dz = alfa * P-(z) - gamma * P+(z)

Der skal findes et udtryk for P-(z = 0).

Et tip er givet, nemlig at et udtryk af formen:

P-(z) = e^(alfa*z){gamma * P_0 *((e^(-2*alfa*z))/(2*alfa))+c }

Er løsning.

Det, jeg ikke helt forstår, er tuborgparenteserne. De er lukket, dvs. der er ikke forskellige grænseflader. Hvis det bare skal opfattes som almindelige parenteser, tror jeg bare, det er at regne på det ved at indsætte den mulige løsning i differentialligningen og så reducere. Og så se, at det forhåbentlig passer.

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. oktober 2007 af peter lind

For kortheds skyld vil jeg kalde højre side af den første ligning i #4 for g(z). Så får jeg

P_in = P_out*g(z) = P+(z)*g(z) = P+(z) + P-(z)

Her har jeg ved de to sidste lighedstegn brugt din ligninger 2 og 3 i #4.

Af det sidste lighedstegn kan P+(z) isoleres; hvilket giver

P+(z)*g(z) - P+(z) = P+(z)*[g(z) -1] = P-(z) <-> P+(z) = P-(z)/[g(z)-1]

Sætter du det ind i din differentialligning får du

dP(z)/dz = alfa* P-(z) + gamma*P-(z)/[g(z) -1] =
(alfa + gamma/[g(z)-1])P-(z)

Dette er en ordinær lineær differentialligning, som må løses. Jeg har ikke haft mod på selv at gå i gang med det, da jeg har lavet et par sjuskefejl i dag. Af samme grund må du nok selv se efter om der ikke er nogle fejl i ovenstående.

Jeg gætter rent umiddelbart, at tuborgparanteserne er sat for at fremhæve at det skal ganges på leddet e^(alfa*z) og ikke på alfa*z; men det kan du bedre se, når du har løst differentialligningen.

Svar #6
20. oktober 2007 af kranz (Slettet)

Pis! Den første ligning skulle have været

P_out/P_in = e^(alfa * (z_0-z))

Ændrer det en hel masse?

Svar #7
20. oktober 2007 af kranz (Slettet)

Jeg har gjort, som du sagde, og er nået hertil:

dP-(z)/dz = P-(z)*(alfa - g(z)/1-g(z))

Den vil jeg så løse vha. seperation af de variable. Er det korrekt fremgangsmåde?

Svar #8
20. oktober 2007 af kranz (Slettet)

Hvis ja, vil du så ikke, trods alt prøve at løse det.. Er meget i tvivl om, hvordan højresiden integreret bliver.

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. oktober 2007 af peter lind

#6 nej. Det betyder blot at mit g(z) skal erstattes af 1/g(z), hvilket blot svarer til at alfa skal erstattes med -alfa
#7 ja
Ellers findes der en generel løsning til den type differentialligninger. Hvis du har differentialligningen

y' = f(x)y er løsningen y = A*exp(F(x)), hvor A er en integrationskonstant og F(x) er en stamfunktion til f.

Ellers stemmer din differentialligning ikke helt med din. Så vidt jeg kan se bliver højre side

P-(z)*(alfa + gamma*g(z)/[g(z) -1])

En stamfunktion til g(z) er -(g(z) - 1)/alfa så integration af højre side giver alfa*z -gamma*ln(g(z)-1)/alfa

Svar #10
20. oktober 2007 af kranz (Slettet)

Tak for hjælpen. Jeg fandt en anden vej, nemlig ved at differentiere den givne løsning og se, at denne var ens med højresiden i differentialligningen.

Skriv et svar til: Løsning af differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.