Generelt

Dum ligning :(

28. oktober 2007 af ¤Sofie¤ (Slettet)

Jeg skal bestemme et integrale hvor

S tan^2(x) * sec(x)dx .

Er der nogen som kan hjælpe mig fordi jeg er tabt .. ?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

Det ville nok være mere praktisk at oprette denne tråd under matematik.
Men lad gå. Her er et hint, du kan bruge til at løse opgaven:

Brug substitution og følgende:
tan²(x)·sec(x) = (sin(x)/cos(x))·(1/cos(x)) = sin(x)/cos²(x)

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. oktober 2007 af Euler (Slettet)

Hej Sofie :)

Vi evaluerer S tan^2(x) * sec(x)dx:

Udnyt at tan^2(x) = sec^2(x) - 1.
Dermed får vi, at
S tan^2(x) * sec(x)dx = S (sec^2(x) - 1)^2 * sec(x) dx
= S sec^5(x) - 2sec^3(x) + sec(x) dx = S sec^5(x)dx - S 2sec^3(x)dx + S sec(x)dx.

Vi starter med at evaluere den første stamfunktion:
S sec^5(x)dx = 1/4 * sec^4(x) * sin(x) + 3/4 * S sec^3(x)dx.
Det sidste led evalueres:
S sec^3(x)dx = 1/2 * sec^2(x)*sin(x) + 1/2 * S sec(x)dx.
Det sidste led evalueres:
S sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| (Overvej).

Ved at kombinere ligningerne får vi, at
S sec^5(x)dx - S 2sec^3(x)dx + S sec(x)dx
= 1/4 * sec^4(x) * sin(x) + 3/4 * S sec^3(x)dx - 2 * S sec^3(x)dx + S sec(x)dx
= 1/4 * sec^4(x) * sin(x) - 5/4 * S sec^3(x)dx + S sec(x)dx
= 1/4 * sec^4(x) * sin(x) - 5/4 * [1/2 * sec^2(x)*sin(x) + 1/2 * S sec(x)dx] + S sec(x)dx
= 1/4 * sec^4(x) * sin(x) - 5/8 * sec^2(x)*sin(x) - 5/8 * S sec(x)dx + S sec(x)dx
= 1/4 * sec^4(x) * sin(x) - 5/8 * sec^2(x)*sin(x) + 3/8 * S sec(x)dx
= 1/4 * sec^4(x) * sin(x) - 5/8 * sec^2(x)*sin(x) + 3/8 * ln|sec(x) + tan(x)| + k , hvor k er en konstant.

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

#1 Ups, en fejl i den udregning selvfølgelig:
tan²(x)·sec(x) = (sin(x)/cos(x))²·(1/cos(x)) = sin²(x)/cos³(x)
Så forslaget er ikke helt så godt alligevel.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. oktober 2007 af Euler (Slettet)

#3 Forslaget er alligevel tankevækkende ;)

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

Du kunne evt. bruge:

t = sec(x)
(sec(x))´ = sec(x)·tan(x) <=> dx = dt/(sec(x)·tan(x))

S(tan^2(x)·sec(x))dx = S(tan(x))dt = S(sqrt(1-cos²(x))·t)dt = S(sqrt(t-1))dt = ...

Hvis jeg har lavet fejl denne gang, så skriv det venligst.

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

#5 Pokkers. Det har jeg:
S(tan^2(x)·sec(x))dx = S(tan(x))dt = S(sqrt(1-cos²(x))·t)dt = S(sqrt(t²-1))dt = ...

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. oktober 2007 af Euler (Slettet)

#6 Det er naturligvis rigtigt, men jeg er spændt på at se, hvordan du ville fortsætte dine udregninger.

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. oktober 2007 af Benjamin. (Slettet)

#7 Ja, nemlig - det bliver lidt noget rod, ikke sandt?

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. oktober 2007 af Euler (Slettet)

#8 Jo, det gør det sikkert. Hvis du prøver med trigonometrisk substitution, vil du opdage:
(t^2 - 1)^0,5 = cotØ, mens cscØ = t, dt = -cscØ * cotØ dØ.
Heraf får vi S(t^2 - 1)dt = - S cotØ * cscØ * cotØ dØ, hvilket er vanskeligt.

#0 Opgaven er egentlig meget kedelig. Den minder om gentagen kvadrering, som vi havde i talteori.

Svar #10
28. oktober 2007 af ¤Sofie¤ (Slettet)

ihj :) jeg takker!

Svar #11
28. oktober 2007 af ¤Sofie¤ (Slettet)

#2 Hej Mark :) Hvordan kommer du fra trin 2 til 3 ?

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. oktober 2007 af Euler (Slettet)

#12 Hvilket trin? Ellers kan vi lige se på det på mandag ;)

Skriv et svar til: Dum ligning :(

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.