Matematik

Bevis et underrum i R^(n x n)

30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

Hej, alle!

Har en opgave som lyder, "Lad U?R^(2x2)cære mængden af symmetriske matricer, dvs. at A tilhører U hvis og kun hvis A=A^T."

og spørgsmålene:

1) Vis, at U er et underum i R^(2x2)
2) Bestem en basis for U og angiv dimensionen af U.

Til første opgave havde jeg intentioner om at skrive underrumsbetingelserne på gurnd af de relativt få oplysninger givet mig, men er ret så sikker på at der er nogle med en rigtig smart idé derude et sted.

Alt hjælp til de to opgaver er meget påskønnet! :)

Svar #1
30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

Hmm.. spørgsmålstegnet mellem U og R^(2x2) var inder indtastningen et "subset of or equal to" tegn. Og der er selvfølgelig "være" ikke "cære"! :)

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. oktober 2007 af Riemann

1)
For at vise at U er et underrum skal du vise, at man ved at multiplicere en symmetrisk matrix med en skalar får en ny symmetrisk matrix.

Endvidere skal du vise at summen af to symmetriske matricer giver en ny symmetrisk matrix.

Til at bevise disse ting kan du udnytte kan en symmetisk matrix kan skrives som

2)
Det er lidt svært at hjælpe med denne opgave uden at besvare den. Men et hint er, at en basis for R^{2x2} er givet følgende

http://www.fys.ku.dk/~sparre/basis.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. oktober 2007 af Riemann

Venstresiden af ligningen i #2 skulle have været følgende:

Svar #4
30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

Ah, det giver meget mening til den første opgave :) Tak Riemann!

Til nummer to må jeg nok lige tænke lidt yderligere over den for at finde ud af det ;) som sagt er det "kun" jo et hint.

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. oktober 2007 af Riemann

Hvis du har brug for et hint til kan du lige skrive. Men prøv at kig grundigt på det selv først

Svar #6
30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

ja, altså. Jeg har nok svært ved at forestille mig en symmetrisk matrix, som multipliceret med en skalar eller adderet med en anden symmetrisk matrix IKKE ville give en symmetrisk matrix. Derfor har jeg nok også svært ved at forestille mig at det ville bevise et underrum og ikke hvilket som helst andet vektorrum. Måske er det mine definitioner der er helt galt :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. oktober 2007 af Riemann

Se på matricen på højresiden af ligningen i #2. Prøv at gang en skalar på denne. Så vil du se at du får en ny symmetrisk matrix.

Prøv også at læg to symmetriske matricer sammen og se hvad der sker (skriv begge to på formen som højresiden af ligningen i #2)...

Svar #8
30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

Så bliver det vel bare et produkt af lambda og de enkelte værdier i matricen, og derudover en addition af de identiske matricer svarer så til at have en lambda=2

Svar #9
30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

(er ikke helt sikker på hvordan du laver dine matricer som indhold i posts) :)

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. oktober 2007 af Riemann

#8
Angående multiplikation af symmetrisk matrix med skalar:
Ja, hvis man multiplicerer hvert enkelt element er den stadig symmetrisk.

Angående sum af to symmetriske matricer:
Husk at det er to forskellige matricer som du skal lægge sammen.

#9
Man kan inkludere LaTeX i sine indlæg. Se

https://www.studieportalen.dk/Subjects/wiki.aspx?id=143

Brugbart svar (1)

Svar #11
30. oktober 2007 af Dominik Hasek (Slettet)

#9:
Han bruger en af de mimeTeX-funktioner (hvor mimeTeX er af afart af TeX), som er blevet implementeret i forummet. ;-)

Svar #12
30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

Men det er altså nok bare at vise en således simpel begrundelse, at man kan addere og multiplicere ind i matricer så de forbliver symmetriske? :)

(prøvede at lave en -Tex, men det gik vidst ikke helt ;) tak for tippet, begge to!)

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. oktober 2007 af Riemann

#12
Det lyder som noget der er tæt på at være korrekt ;)

Se det evt skrevet korrekt på på side 5 i disse noter:

http://www.logx.dk/notes/linalg.pdf

eller kig i din bog..

Svar #14
30. oktober 2007 af Pet Foxie (Slettet)

Hehe, ja så kom vi snart igennem min oparbejdede mat-blokering ;) Det virkede bare for simpelt til at jeg selv kunne tro det :)

Min bog er et glimrende eksempel på en uden tvivl brilliant professor, som bare ikke kan formå at formidle sin viden. ;)
Har opgivet den lidt og leder efter en ny, som kan forklare emnerne bedre, med flere eksempler og mindre ligegyldige beviser.

Brugbart svar (0)

Svar #15
30. oktober 2007 af sheaf (Slettet)

Det udestår at argumentere for at 0-elementet i vektorrummet af (2,2)-matricer tilhører U. Et underrum er en ikke-tom delmængde lukket under addition og skalarmultiplikation med elementer fra det underliggende legeme.

Skriv et svar til: Bevis et underrum i R^(n x n)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.