Matematik

Ligning med en løsning

01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

OPGAVEN lyder:
En funktion er givet ved f(x) = x + sinx

a) Bestem f'(x).
b) Gør rede for at ligningen f(x)=c har netop een løsning for alle c.
Grafen for f, x-aksen og linjen x=a, hvor a>0 afgrænser i 1. kvadrant en punktmængde M, som har et areal.
c) Bestem a, så arealet af M = 2.

MINE SVAR:
a) f'(x) = 1 + cosx
b) Forstår jeg slet ikke - hvorklar venligst uden at give svaret!
c) Skal jeg opskrive en ligning?
Er det noget i stil med
2 = int a - (x + sinx) dx?

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

b) Hvilket fortegn har f '(x)?

c) Du skal opstille og løse en ligning. Men ikke den du skriver. a er en af grænserne i integralet.

Svar #2
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

b) Øh? Skal jeg lave en fortegnslinje, eller hvad mener du?

c) Ok! Tror jeg har fattet den nu, tegnede den lige ind på lommeregneren.
Er det ikke
2 = int x + sinx dx med grænserne 0 og a? Det er en ligning med en ubekendt.

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

b) Det kan du da godt. Men hvorfor svarer du ikke bare på mit spørgsmål:)

c) Netop.

Svar #4
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

Men hvordan kan en funktion have et fortegn?

Sorry, forstår slet ikke opgaven :/

Svar #5
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

I c'eren får jeg ½a^2 = cosa + 1, den kan vist ikke løses i hånden, vel?

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

Da -1<=cos(x)<=1 er f '(x)>=0. Det viser at f er voksende. Ligningen kan derfor ikke have mere end 1 løsning. Hvad mangler du derefter?

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

#5 Korrekt, det kan den ikke.

Svar #8
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

?
Undskyld, men jeg er helt blank i denne opgave. Vi har aldrig løst noget lignende før!

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

Prøv at være konkret.

Svar #10
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

Jeg forstår dine udregninger i #6, men jeg kan ikke se, hvordan man skal komme videre. Hvis jeg nu sætter c = 4 eller c = 5, så vil x give noget forskelligt hver gang, men burde det ikke give det samme? Som der står i opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #11
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

#10 Det står der ikke i opgaven. Der står at der er en løsning (dvs. at der ikke er 0 løsninger og at der ikke er to eller flere løsninger)

Et helt andet eksempel: Ligningen x²-4x+1=0 har to løsninger. Men her er differentialkvotienten heller ikke positiv.

Svar #12
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

Men er svaret det, du har skrevet i #6?

Svar #13
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

LIGE MEGET; jeg har forstået det nu!

Tusind gange tak for hjælpen.

Synes nu alligevel opgaveformuleringen var svær at forstå. Ville nok ikke kunne løse den selv!

Brugbart svar (0)

Svar #14
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

Næsten. Du mangler at vise at der ikke er 0 løsninger.

Men
x->oo for x->oo og
x->-oo for x->-oo.

Svar #15
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

Hmm? x går mod uendelig for x går mod uendelig?

Altså, jeg viser, at f(x) er monotont voksende. For en ligning x = a (dvs. en lodret ligning) vil den derfor kun skære f(x) een gang, da grafen er voksende i hele Dm(f). Er det ikke nok?

Brugbart svar (0)

Svar #16
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

x=a er en vandret linje, men det mener du vist også. Det er ikke helt nok.

Tænk på en eksponentiel funktion. Den er monoten, men ligningen f(x)=-1 har ingen løsning.

Det sker ikke i dit tilfælde.

Svar #17
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

Hov, det er egentlig x = c, men det er vel det samme :)
Ja, jeg mente vandret :)

Ok, så jeg skal vise, at f(x) er defineret for alle x?

Brugbart svar (0)

Svar #18
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

Nej, at værdimængden er alle reelle tal.

Svar #19
01. november 2007 af Marie+Louise (Slettet)

... og det gør jeg hvordan?

Er der nok at argumentere for, at fx x = sinx, hvor -1<=x<=1, (og derved x+sinx) har uendelig mange løsninger defineret i R?

Brugbart svar (0)

Svar #20
01. november 2007 af ibibib (Slettet)

Nej, argumentet skrev jeg i #14.

Da x->oo og sinx ligger mellem -1 og 1 vil f(x)->oo.

Forrige 1 2 Næste

Der er 22 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.