Bevis for kvardratrod 5 er irrationalt

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=419999

Jamen er det, det samme?

hvad mener du?

fremgangsmåden.
Altså, tag lige med at klokken er 23.30 og jeg har siddet og regnet matematik hele dagen, så min hjerne er stået lidt af. :)

Spørgsmålet i linket af at bevise at 5^0,5 er irrationalt.
For at bevise at kvadratrod 5 er irrationalt, gør man så bare præcis det samme?
Håber du forstår spm.

`Kvadratrod 5 = 5^0,5

Ja det ved jeg. Og derfor kan man godt "nøjes" med at bevise det ved at lave beviset for 5^0,5.

Jeg har om græsk matematik, og derfor er det at de fandt ud af at kvadratrod 2 irrationalt en ret vigtig del jo. Har bevist at kvadratrod 2 er irrationalt ved at tage udgangspunkt i præcis kvadratrod 2 og sat det lig med a/b hvor begge tal er hele.
Jeg spørger fordi jeg ikke ved om man kan beregne kvadratrod 5's irrationalitet på andre måder end ved at sige det er lig med 5^0,5, for hvis man kan det (altså sige fx kvadratrod 5 = a/b og så forkorte osv) så tror jeg det ville være et bedre svar på opgaveformuleringen som lyder følgende:

- Bevis på klassisk vis at kvadratrod 5 er irrational. Find ud af for hvilke tal, x, man på tilsvarende vis kan bevise, at kvadratrod x er irrational.

(og det sidste spm er jeg rent faktisk også i tvivl om fremgangsmåden)

Det er ikke helt det samme, men næsten... Du skal ikke tage dig af notationen 5^0,5 - jeg tror bare, det er en notation, der benyttes herinde, da den er kortere at skrive end "kvadratroden af 5".

Men...

Antag, at der findes et rationalt tal a/b, hvorom der gælder, at a^2/b^2 = 5. Ved nu at gange med 5 på begge sider, ses at a^2 = 5b^2. Og her er der en fejl i linket, for dette betyder ikke, at hverken a eller b er lige. Det betyder derimod, at a^2 kan deles med 5.

Og hvad betyder det så? Jo, her skal man bruge det talteoretiske argument, at hvis et primtal p går op i et produkt, x*y, så går p enten op i x eller y (eller begge). Dette gælder ikke for sammensatte tal, da eksempelvis 6 går op i 3*4, men 6 går hverken op i 3 eller 4, men med primtal gælder dette.

Altså, når vi ved, at a*a kan deles med 5, medfører dette altså, at enten a eller a (eller begge) kan deles med 5. Ergo kan a deles med 5. Så findes der et naturligt tal, n, så a = 5n.

Nu har vi altså, at a^2 = 25n^2 = 5b^2. Ved at dele med 5 på begge sider opnås 5n^2 = b^2. Men her ses ud fra samme argumentation som ved a, at b også kan deles med 5. Dvs. b = 5m.

Opsummering:
Vi antog, at a^2/b^2 = 5, hvorved vi kom frem til, at brøken a/b kan forkortes med 5 til n/m, men da n^2/m^2 = 5, kan vi gennemføre samme argumentation igen. Med andre ord kan den brøk, der skulle være kvadratroden af 5, forkortes med 5 i det uendelige. Men så kan brøkens tæller og nævner ikke være endelige tal, hvilket strider mod at der overhovedet er tale om en brøk/et rationalt tal.

Der skulle stå "a^2/b^2 = 5. Ved nu at gange med b^2 på begge sider..."

Tusind tak. Enten er det fordi at jeg har fået sovet, eller også så er det bare en super måde du har forklaret det på, men nu er jeg med på hvordan man gør i hvert fald :)