Fysik

Bevægelsesligning m/u luftmodstand (differentialregning)

13. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Jeg er ved at lave SRP, og er løbet ind i nogle seriøse problemer - eller også er jeg bare træt.

Jeg har fået til opgave vha. Newtons love at opstille bevægelsesligningen for et frit fald uden luftmodstand og med luftmodstand. Lad os starte her.. Ved ikke hvorfor min vejleder har indført begrebet bevægelsesligning, for det er mildest talt ikke noget der er defineret i mit hoved. Så sig til, hvis det følgende er forkert!

Der arbejdes med en orientering, så en opadgående bevægelse er positiv. Tyngdekraften er dermed negativ.
Uden luftmodstand:
Ftyngde = -mg
Fres = -Ftyngde <=> ma=-mg <=>a=-g
Jeg arbejder med differentialligninger, men kan jeg her indføre en stedfunktion s(t), så s''(t) = a(t) så s''(t) = -g ? Min vejleder har bedt mig om at udlede den fuldstændige løsning til denne bevægelsesligning og her går jeg kold.

Anyways, det er hvad jeg er kommet frem til uden luftmodstand (kommentarer, tak!)

Med luftmodstand:
Fgnid = kv^2
Fres = -Ftyngde+Fgnid <=> ma = -mg + kv^2
Igen, skal jeg så bare indføre en stedfunktion? Her har min vejleder bedt mig om at finde hastighedsfunktionen.
ma = -mg + kv^2 <=> a = -g + k/m * v^2
v'(t) = -g + k/m * v(t)^2

Er dette rigtigt? Hvordan finder jeg hastighedsfunktionen? Jeg ved ikke hvorfor dette volder mig så store problemer, men jeg tror bare klappen er gået ned ..

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Du skal bare omskrive a til d(2)S/dt^2 og v til ds/dt, så har du din differentialligning

Svar #2
13. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Altså, så s''(t) = -g + k/m * s'(t)^2 ?! Det er jo bare en anden måde at skrive det på, men ja. Problemet er bare i tilfældet uden luftmodstand: Min vejleder beder mig om at udlede den fuldstændige løsning, men jeg kommer jo frem til s''(t) = -g, og det er vel ikke en differentialligning?!

Svar #3
13. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Hov, jeg tror der er gået et lys op for mig - uden luftmodstand:
Her skal jeg vel indfører s(t) som angiver positionen for genstanden i forhold til nulpunktet til tiden t. Aha, så langt så godt .. Men hvad så? Jeg har siddet med det her i nogle timer nu og kan simpelthen ikke få det til at passe :/ Bliver Fres proportional med s(t), så Fres = -Ftyngde * s(t) ?

Svar #4
13. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Nu tror jeg nok jeg er kommet lidt videre - jeg har bare haft en tænkeblokade:
Uden luftmodstand:
s''(t) = -g er en differentialligning. Den fuldstændige løsning findes ved at differentiere, så
s'(t) = (int)(-g*dt) = -g*t + v_0
s(t) = (int)(-g*t*dt) = 0,5*g*t^2 + v_0*t + s_0

Nogen indvendinger hertil?

Det næste er jeg ikke så sikker på, det er nok mere her jeg skal bruge nogle inputs - jeg skal FINDE HASTIGHEDSFUNKTIONEN:

Med luftmodstand:
Fgnid = kv^2
Fres = -Ftyngde+Fgnid <=> ma = -mg + k*v(t)^2 <=> a = -g + k/m * v(t)^2
Her sættes C = k/m, så
a = -g + C * v(t)^2 <=>
s''(t) = -g + C * s'(t)^2

Denne diff.ligning løses på tilsvarende vis som ovenfor(?!):
s'(t) = v(t) = (int)(-g + C * s'(t)^2 * dt) = -g*t + 1/3 * C * t * s(t)^3

Er der nogle rettelser hertil ?! Stedfunktionen må så på lignende vis kunne findes ved at integrere endnu en gang.

Brugbart svar (0)

Svar #5
14. december 2007 af Østjyden (Slettet)

Jeg laver nogenlunde samme opgave, og jeg synes det ser fint ud. Vær dog opmærksom på at der er forskel på at differentiere og integrere. Du skrev:

s''(t) = -g er en differentialligning. Den fuldstændige løsning findes ved at differentiere, så
s'(t) = (int)(-g*dt) = -g*t + v_0

Hvor der i stedet skal stå:

s''(t) = -g er en differentialligning. Den fuldstændige løsning findes ved at integrere, så
s'(t) = (int)(-g*dt) = -g*t + v_0

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. december 2007 af Erik Morsing (Slettet)

#2
Citat: "s''(t) = -g, og det er vel ikke en differentialligning?!"
Jo, det er det da!

Brugbart svar (0)

Svar #7
14. december 2007 af sofiepoulsen (Slettet)

Er det rigtigt at luftmodstanden er proportional med hastigheden i anden ved høje hastigheder, og at luftmodstanden er proportional med hastigheden ved lave hastigheder??

Hvis dette er rigtigt, hvor skelner man så mellem om en hastighed er høj eller lav??

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. december 2007 af Erik Morsing (Slettet)

Jeg kan sige så meget, at lufmodstanden afhænger i første række af hastigheden i 2. potens (også kaldet kvadratet på hastigheden) samt af tværsnitsarealet af det faldende legeme parallelt med ground basic (hvad hedder nu på dansk?? Kan ikke huske det.) Men der kan også være andre parametre.

Svar #9
14. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Østjyden -> Jeg så selv samme fejl da jeg læste det i gennem på min computer - en tanketorsk ;)

Jeg er kommet lidt mere i tvivl - for min vejleder beder mig om at finde bevægelsesligningerne for et frit fald med luftmodstand (og så vidt jeg ved, skal jeg dermed finde a(t), v(t) og s(t)). Herefter beder han mig om at finde hastighedsfunktionen - er det ikke v(t)?

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. december 2007 af Erik Morsing (Slettet)

S(t)=S_0+v_0*t
V(t)=S'(t)=v_0+g*t
a(t)=g=V'(t)

jo det er bevægelsesligningerne

Svar #11
14. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Præcis. Jeg må nok hellere sende ham en mail, og spørge ham om, hvad han mener med det spørgsmål.

Jeres hjælp har været uvurderlig! I må meget gerne kigge med nogle dage endnu, jeg kunne finde på at spørge om flere ting ;)

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. december 2007 af Østjyden (Slettet)

Jo, v(t) er hastighedsfunktionen.
Hvis du regner med et frit fald, fremfor et skråt kast, regner du kun i én dimension. (eller du kan i hvert fald sætte bevægelsen i x-aksens retning lig 0).

Jeg lytter med omkring det med den 2. potens. I mit forsøg har jeg målt vindmodstanden på en fjerbold for forskellige hastigheder af luften. Punkterne plottede jeg ind i en graf og fik en tendenslinje, hvor vindmodstanden kan skrives på formlen:

vindmodstand = C * v0^2

Potensen er ikke præcist 2, men R^2 værdien er heller ikke helt 1.

Svar #13
14. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Østjyden -> Yes, den er jeg med på. Jeg har teoretisk argumenteret for, at Fgnid = k*v^2

I mit argument indgår, at tiden T er meget lille, hvorfor arbejdet der udføres på den ramte luftmængde er det samme som luftens tilvækst i kinetisk energi (0,5*m*v^2).

Svar #14
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

GENNEMBRUD!
Jeg har siddet og leget med lommeregneren, og jeg tror jeg har overset en regneregel - sad og prøvede at integrere (2*x)^2, og svaret var (4*x^3)/3 - så man skal altså først gange potensen ind, førend man kan integrere.
Så får jeg, at v(t) = (int)((s'(t))^2)dt*C-g*t+v_o
Så jeg skal altså først bestemme s(t) førend jeg kan komme videre.

Kan vi blive enige om det?! Derved bliver det hele meget mere simpelt!
Så
s(t) = (int)(int)((s'(t))^2)dtdt*C-g*t^2+v_0*t+s_0

Svar #15
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=442193

Jeg giver op. Har brugt hele aftenen på det her..

Skriv et svar til: Bevægelsesligning m/u luftmodstand (differentialregning)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.