Matematik

UDFORDRING: Differentialligning

14. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Jeg arbejder med bevægelsesligninger (s(t), v(t) og a(t)) for et fald med luftmodstand i mat/fys.
For a(t) gælder der, at a(t) = s''(t) = C*(s'(t))^2-g hvor C og g bare er nogle konstanter.
For at finde v(t) og s(t) findes samtlige stamfunktioner til de forskellige udtryk. Jeg har fundet

v(t) = 1/3*C*t*(s(t))^3-g*t+v_0 og
s(t) = 1/12*C*t^2*((integralet)s(t)dt))^4-g*t^2+v_0*t+s_0

For det første: Er det rigtigt integreret?
For andet (og det svære): Hvordan bestemmes s(t)?

Jeg kan få min lommeregner til at bestemme s(t) udfra a(t), men ikke for nogen af de andre to.. og jeg skal finde hastighedsfunktionen, så jeg må skulle finde s(t).

Nogle der kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. december 2007 af sigmund (Slettet)

Din v er korrekt. s findes som løsning til differentialligningen s''(t) = C*(s'(t))^2-g.

Start med at sætte s'(t) = y(t). Så kan ligningen omskrives til y'(t) = C*[y(t)]²-g, som kan løses vha. separation af de variable. Til sidst findes s(t) ved at integrere den fundne y(t).

Er du med?

Svar #2
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Jeg har siddet og leget med lommeregneren, og jeg tror jeg har overset en regneregel - sad og prøvede at integrere (2*x)^2, og svaret var (4*x^3)/3 - så man skal altså først gange potensen ind, førend man kan integrere.
Så får jeg, at v(t) = (int)((s'(t))^2)dt*C-g*t+v_o
Så jeg skal altså først bestemme s(t) førend jeg kan komme videre.

Kan vi blive enige om det?! Derved bliver det hele meget mere simpelt!

Brugbart svar (0)

Svar #3
15. december 2007 af sigmund (Slettet)

Ja, få så den s(t) bestemt! Fremgangsmåden står i #1. Du har dog brug for at vide, at en stamfunktion til 1/(1+x²) er Arctan(x), eller tan^(-1)(x).

Din v(t) er rigtig som den står i #0. Du mangler bare at finde s(t), så har du funktionsudtryk for s(t), v(t) og a(t).

Svar #4
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Sigmund -> Jeg tror nok jeg er med. Problemet er bare, at jeg aldrig har prøvet at bruge separation før. Jeg er ved at læse om det lige nu.. Kunne du evt. opstille s''(t) = C*(s'(t))^2-g på formen dy/dt = g(y)h(x) for mig? Det ville gøre det meget lettere! Jeg prøver mig lidt frem pt.

Svar #5
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Og så meget ved jeg slet ikke om stamfunktioner :)
Du kan nok se, at min vejleder har bedt mig om at gabe over mere end jeg kan magte. Han er oven i købet min egen matematiklærer - man græmmes.

Og nej, jeg er ellers ikke dum til matematik. Men jeg har brug for lidt hjælp her..

Brugbart svar (0)

Svar #6
15. december 2007 af sigmund (Slettet)

Som sagt, vi har erstattet s'(t) med y(t), og fået ligningen y'(t) = C*[y(t)]²-g. Du vil have den på formen dy/dt = g(y)*h(x)? Jamen, her kommer den:

dy/dt = (C*[y(t)]²-g)*1 (med g(y) = C*[y(t)]²-g og h(x) = 1).

PS: Går du ikke i 3. g? Integralregning er måske ikke pensum mere?

Svar #7
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Tusind tak! Jeg prøver at regne på det nu og så vender jeg tilbage.

Jeg går i 3.g og ved godt hvad integralregning er, men har kun lært at bruge substitution.. Åbenbart ikke et krav at man lærer seperation på gym - må min mat.lærer have styr på, han er punktligheden selv. Underviste engang uni.lærere men nu har vi andre fået "glæde" af ham. Dybt suk.. Men man lærer da noget.

Svar #8
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Okay, det her er slet ikke så nemt som jeg håbede.. Jeg forstår ikke hvad du mener med, at jeg skal bruge separation af de variable - der er jo kun én, t?!

Svar #9
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

g(y) = C*[y(t)]²-g og h(x) = 1
dy/dt = g(y)h(x) <=> 1/g(y) * dy/dt = h(x) <=> 1/C * (int)(1/([y(t)]^2-g)dy = (int)1dt <=> 1/C * ln([y(t)]^2-g] = t

Og hvad så?

Svar #10
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

For at skrive det på en pænere måde ..

Svar #11
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Okay, jeg har fået lidt hjælp, så jeg er med lidt hen af vejen:

De følgende skridt forstår jeg ikke - nogle der kan komme med nogle mellemregninger, der hjælper mig lidt her?

Brugbart svar (0)

Svar #12
15. december 2007 af sigmund (Slettet)

Vi har

Gang med 2\sqrt{cg}:

Tag exp() på begge sider:

Gang med v\sqrt{c}+\sqrt{g}:

Divider med \sqrt{c}:

Gang ind i parentesen på højre side, og læg \sqrt{\frac{g}{c}} til på begge sider:

Træk v\exp(2\sqrt{cg}(t+a)) fra på begge sider, og sæt v, hhv. \sqrt{\frac{g}{c}}, uden for en parentes:

Isoler v (og gang evt. med -1 for at bytte om på 1-\exp(2\sqrt{cg}(t+a)) ):

Og for at få udtrykket på samme form som du har det, gang 2\sqrt{cg} ind i parentesen under exp() [exp(x) er det samme som e^x]:

Svar #13
15. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Sigmund, hvis du var her, ville jeg kysse dig!

Efter at have siddet og læst det i gennem (og ja, nu giver det faktisk mening), er der kun én løs ende for mit vedkommende:
Hvordan bestemmes a?

Brugbart svar (0)

Svar #14
15. december 2007 af sigmund (Slettet)

Nu kender du v(t). Du har så, at a(t) = v'(t). Ydermere har du, at s'(t) = v(t). Så s(t) findes ved at _integrere_ v(t), mens a(t) findes ved at _differentiere_ v(t).

Er du med?

Svar #15
16. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Jeg mente nu godt nok a i ligningen for v(t) ;)

Svar #16
16. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Jeg mente nu godt nok a i ligningen for v(t) ;)

Brugbart svar (0)

Svar #17
16. december 2007 af sigmund (Slettet)

#16,

Nå ja, selvfølgelig! Her er a en integrationskonstant. Dens konkrete værdi afhænger af det konkrete problem. Du kan altid sige, at v(0) er lig en konstant v_0. Dermed kan du i hvert fald finde a udtrykt ved starthastigheden, samt konstanterne c og g.

Svar #18
16. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Nu må din tålmodighed snart løbe op, men vil bare gerne være helt sikker ;)

Siger du, at a = v_0 eller skal jeg isolere a og så sætte t = 0?

Svar #19
16. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Nej, A kan vel finds ved at sætte

Svar #20
16. december 2007 af Rydbirk (Slettet)

Doh! Prøver lige igen..

Nej, A kan vel finds ved at sætte

, ikk ?!

Argh, nu kan jeg ikke huske hvordan man kommer fra (3) til (4) i #11!

Forrige 1 2 3 Næste

Der er 45 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.