Matematik
Volumen af omdrejningslegeme
15. december 2007 af
kaspx (Slettet)
Jeg er i gang med at lave et bevis for volumen af omdrejningslegemer, men er rendt på et enkelt problem. Iflg. min lærebog må et omdrejningslegeme ikke skære y-aksen, hvis der roteres om denne, men gerne x-aksen, hvis der roteres om denne.
Jeg kan godt se, at det for nogle funktioner giver problemer hvis en funktion krydser y-aksen og der roteres om denne, men synes f.eks. ikke, at jeg kan se de store problemer med at rotere en simpel lineær funktion omkring y-aksen.
Nogen der kan hjælpe med at afklare dette?
Jeg kan godt se, at det for nogle funktioner giver problemer hvis en funktion krydser y-aksen og der roteres om denne, men synes f.eks. ikke, at jeg kan se de store problemer med at rotere en simpel lineær funktion omkring y-aksen.
Nogen der kan hjælpe med at afklare dette?
Svar #1
16. december 2007 af tal-pædagog (Slettet)
Er problemet ikke, at hvis man roterer en funktion, der for samme y-værdi har mere end én x-værdi, så er det pludselig tvetydigt, hvad der skal forstås ved omdrejningslegemet...
Skal man så danne den figur der fremkommer ved at se på mængden af x-værdier til hver y-værdi, dvs. mængden f¯¹(y) og vælge den numerisk største, dvs. max|f¯¹(y)|? Muligvis, men det er lidt bøvlet.
Dette problem opstår ikke ved rotation omkring x-aksen, da det ligger i funktionsbegrebet, at f(x) for ethvert givet x er éntydigt bestemt, og dermed som mængde betragtet bliver en étpunktsmængde. Der er med andre ord ingen valg, der her skal foretages. Fænomenet at f(x) kun har én værdi til hvert x, kaldes med et matematisk begreb at "funktionen er veldefineret".
En anden måde at løse problemet på, som du faktisk selv er inde på, når du taler om "en simpel lineær funktion", er at man istedet for at kræve, at funktionen ikke må krydse y-aksen, kræver, at den er invertibel! Dette svarer præcis til at kræve, at mængderne f¯¹(y) alle er étpunktsmængder...
Var det noget i den stil, du mente?
Skal man så danne den figur der fremkommer ved at se på mængden af x-værdier til hver y-værdi, dvs. mængden f¯¹(y) og vælge den numerisk største, dvs. max|f¯¹(y)|? Muligvis, men det er lidt bøvlet.
Dette problem opstår ikke ved rotation omkring x-aksen, da det ligger i funktionsbegrebet, at f(x) for ethvert givet x er éntydigt bestemt, og dermed som mængde betragtet bliver en étpunktsmængde. Der er med andre ord ingen valg, der her skal foretages. Fænomenet at f(x) kun har én værdi til hvert x, kaldes med et matematisk begreb at "funktionen er veldefineret".
En anden måde at løse problemet på, som du faktisk selv er inde på, når du taler om "en simpel lineær funktion", er at man istedet for at kræve, at funktionen ikke må krydse y-aksen, kræver, at den er invertibel! Dette svarer præcis til at kræve, at mængderne f¯¹(y) alle er étpunktsmængder...
Var det noget i den stil, du mente?
Svar #2
16. december 2007 af kaspx (Slettet)
Jeg er helt enig med dig i dette:
"Er problemet ikke, at hvis man roterer en funktion, der for samme y-værdi har mere end én x-værdi, så er det pludselig tvetydigt, hvad der skal forstås ved omdrejningslegemet..."
Og når jeg tænker lidt nærmere over det så må den samme situtation egentlig også gælde for x-aksen, i hvert fald for nogle typer af funktioner. En parabel der skærer x-aksen kan f.eks. kun roteres 180 grader, ellers vil den skære sig selv.
"Er problemet ikke, at hvis man roterer en funktion, der for samme y-værdi har mere end én x-værdi, så er det pludselig tvetydigt, hvad der skal forstås ved omdrejningslegemet..."
Og når jeg tænker lidt nærmere over det så må den samme situtation egentlig også gælde for x-aksen, i hvert fald for nogle typer af funktioner. En parabel der skærer x-aksen kan f.eks. kun roteres 180 grader, ellers vil den skære sig selv.
Skriv et svar til: Volumen af omdrejningslegeme
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.