Matematik
Logaritmiske spiral - parameterfremstilling
Jeg er i gang med min srp og skal bevise påstanden om, at den logaritmiske spiral har den samme form overalt.
Dens parameterfremstilling ser således ud:
f(t) = e^at (cos t)
(sin t)
De skal selvfølgelig være i den samme parantes :)
a er en positiv konstant, (cost, sint) er parameterfremstillingen for en jævn cirkelbevægelse med centrum i (0,0), og altså den del, der sørger for, at bevægelsen kører rundt, mens leddet e^at sørger for, at spiralen med "eksponentiel far" fjener sig fra (0,0).
Min lærer gav mig disse noter:
(e^at*cost)^2 + (e^at*sint)^2 =
(e^at)^2*cos^2 + (e^at)^2*sint^2 =
(e^at)^2*(cost^2+sint^2) =
(e^at)^2*1
Han har desuden også givet mig disse:
(e^a(to++2pi))/(e^a*to) =
(e^ato+2pi*a)/(e^a*to) =
e^2pi*a
(Jeg tror, at han har skrevet to)
Jeg er lidt i tvivl, hvordan jeg skal komme videre med alle de forskellige noter. Håber der er nogle som kan se en sammenhæng og hjælpe mig med det :)
Svar #1
20. maj 2020 af oppenede
Da parameterfremstillingen er:
f(t) = e^at (cos t, sin t)
Så får du ved at se en ekstra omgang frem
f(t + 2pi) = ea(t+2pi)(cos(t + 2pi), sin(t + 2pi))
= eate2aπ(cos(t), sin(t))
= e2aπ f(t)
Så der gælder: f(t + 2pi) e-2aπ = f(t)
hvilket vil sige at de næste 360 grader af spiralen er en skallering af de forrige. Dvs. kurven har samme form overalt da hvilke som helst 360 grader af spiralen kan skalleres op/ned et passende antal gange med e2aπ til at blive sammenfaldende med alle andre dele af spiralen.
Skriv et svar til: Logaritmiske spiral - parameterfremstilling
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.