Matematik
Formelt sandsynlighedsrum
22. december 2007 af
JacobJensen (Slettet)
Et sandsynlighedsrum består af et udfaldsrum E, og en o-algebra F, som er alle (Borel)delmængder i E. P er sandsynligheden. Hvor gammelt er den strengente definition?
Det skal være to krav:
1. P(E) = 1
2. Hvis A_n = 1,2,..., er en sekvens af parvis disjunkte mængder i F, så er sandsynligheden af foreningsmængden lig med summen af sandsynligheden for hver mængde.
Det undrer mig, når man taler om sandsynligheder i [0,1] at de ikke nævner, at P(Ø) = 0 ?
Det skal være to krav:
1. P(E) = 1
2. Hvis A_n = 1,2,..., er en sekvens af parvis disjunkte mængder i F, så er sandsynligheden af foreningsmængden lig med summen af sandsynligheden for hver mængde.
Det undrer mig, når man taler om sandsynligheder i [0,1] at de ikke nævner, at P(Ø) = 0 ?
Svar #1
22. december 2007 af Euler (Slettet)
Det udledes, at P(Ø) = 0.
Der er i øvrigt et krav for F. Vi siger, at F er en o-algebra B(R^k), hvis
1. A tilhører F => A's komplementære mængde tilhører F.
2. A tilhører F => alle forenings - og fællesmængder tilhører F.
Heraf ses det, at A og A's komplementære mængde er disjunkte, samt at deres foreningsmængde giver hele udfaldsrummet E.
Da P(Ø) giver en konvergent række, får vi at P(Ø) = P(Ø) + P(Ø) +....
Det eneste element, der er neutralt over for addition er 0, ergo er P(Ø) = 0. Det kan godt bevises på en anderledes måde, men den her måde kræver ingen baggrundsviden for sandsynlighedsteorien.
Der er i øvrigt et krav for F. Vi siger, at F er en o-algebra B(R^k), hvis
1. A tilhører F => A's komplementære mængde tilhører F.
2. A tilhører F => alle forenings - og fællesmængder tilhører F.
Heraf ses det, at A og A's komplementære mængde er disjunkte, samt at deres foreningsmængde giver hele udfaldsrummet E.
Da P(Ø) giver en konvergent række, får vi at P(Ø) = P(Ø) + P(Ø) +....
Det eneste element, der er neutralt over for addition er 0, ergo er P(Ø) = 0. Det kan godt bevises på en anderledes måde, men den her måde kræver ingen baggrundsviden for sandsynlighedsteorien.
Svar #2
22. december 2007 af JacobJensen (Slettet)
Ah! Du har ganske ret. Hvorfor havde ikke tænkt på det?
For at normalfordelingen er en fordelingsfunktion, skal man vise at integralet over R af funktionen er lig med 1. Har du en smart metode?
For at normalfordelingen er en fordelingsfunktion, skal man vise at integralet over R af funktionen er lig med 1. Har du en smart metode?
Svar #3
22. december 2007 af Euler (Slettet)
Hvis man skal vise, at det er en fordelingsfunktion, skal man vise andre ting, som jeg ikke vil skrive her.
Selve definitionen er noget i retningen af: "Lad X være en stokastisk variabel på vores sandsynlighedsrum. Funktionen
F: R -> [0,1]
x-> F(x) = P(X <= x) kaldes en fordelingsfunktion".
Beviset har du her. Vi laver et smart trick, hvor vi først ændrer integrationsvariablen og konverterer til polære koordinatier.
http://www.peecee.dk/index.php?lid=1&aid=1&pid=2&loadid=86442
Selve definitionen er noget i retningen af: "Lad X være en stokastisk variabel på vores sandsynlighedsrum. Funktionen
F: R -> [0,1]
x-> F(x) = P(X <= x) kaldes en fordelingsfunktion".
Beviset har du her. Vi laver et smart trick, hvor vi først ændrer integrationsvariablen og konverterer til polære koordinatier.
http://www.peecee.dk/index.php?lid=1&aid=1&pid=2&loadid=86442
Skriv et svar til: Formelt sandsynlighedsrum
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.