Basis

Hej. Nu ved jeg ikke, om du fik min besked over msn, men så skriver jeg det lige her.

Hvis du bestemmer N(A), altså nulrummet for matricen A, så kan du bagefter opstille en basis for dette.

Du skal altså starte med at løse Ax = 0.

Kan du huske, hvad en basis er? Definitionen er vist noget i stil med et minimum sæt af vektorer, der udspænder underrummet.

Jo, men jeg har svært ved at reducere matricen til den form.

http://peecee.dk/upload/view/98048
Kan ikke komme videre..

Metode 1.
Hvis du betragter rækkerne i matricen og en løsning til ligningerne som en vektor, vil ligningssystemet kunne opfattes som, at du skal finde det ortogonale vektorrum til det underrum der udspændes af rækkevektorerne i matricen. Der findes i hvert fald en metode til at bestemme sådan et ortogonalt underrum nemlig Gram-Smidts(jeg er ikke sikker på at dette er stavet rigtigt) metode. Kender du denne metode eller en anden kan du bruge dette til at finde en løsning.

Metode 2.
Brug Gauss elimination til at fjerne den ene variabel. Du har nu en enkelt ligning med 3 ubekendte. Gå systematisk frem for at finde lineært uafhængige løsninger til dette ligningssystem. Sæt en af variablene til 0, sæt en af de andre til et eller andet passende for eks. 1. Nu har du en ligning med en ubekendt, som du kan løse. Nu har du en egentlig løsning til dette sekundære ligningssystem. Derefter sætte du resultatet ind i en af de originale ligninger og finder den sidste variabel.. Dermed har du fået en egentlig vektor, der opfylder ligningsystemet. Sæt derefter en af de andre variable til 0 og gentag.

jo, men det har jeg netop problemer med. Kan du reducere den?

Jeg ser lige at i metode 2 er det første trin allerede foretaget idet der er et 0 i anden række.
Jeg vælger at sætte x3=0 og x4=1. Så får du ligningen
2*x1+0*x2+(-1+i)*0+2i*1=2x1+2i=0 <-> x1=-i. Nu har du altså vektoren
(-i, ?, 0, 1) er en løsning. Den manglende anden koordinat får du ved at sætte dette ind i den første ligning altså:
(1+i)*(-i)+2*x2+3*0+(4-i)*1=5-2i+2x2=0 <-> x2=-5/2+i
En løsning er så (-i, -5/2+i, 0, 1). Denne løsning er så en basisvektor for det søgte vektorrum.
Dette gentages så med en anden af koordinaterne sat til 0.