Matematik

differentialligning

28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

hej er igen med at lave blæk og er lige kommet til en opgave som driller, men håber i kan hjælpe

den lyder således:
En befolknings størrelse kan beskrives ved en funktion N, således at N(t) er folketallet til tiden t, hvor t angives i år.
det antages, at N tilfredsstiller differentialligningen
dN/dt=(0,025-0,0004t)*N

A) hvilken information giver ligningen om udviklingen af folketallet?

Jeg har fået at vide, at jeg skal finde monotoniforholdet for at beskrive grafen. men kan ikke rigtig finde ud af hvad jeg skal skrive ind på lommeregneren (TI-89). Mit bud er, at jeg ville skrive det ind således:
solve(0,025-0,0004t)*N=0,?)

Jeg kan ikke finde ud af hvad jeg skal skrive efter komma. Er det t eller N?

Håber i forstår hvad jeg spørg om..
mange tak på forehånd

Brugbart svar (1)

Svar #1
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Læg i første omgang lommeregneren fra dig, og tænk over opgaven.

Vi har en differentialligning, der beskriver udviklingen af folketallet. Kigger vi på dN/dt, så skal vi se på fortegnet af denne. Dette fortegn bestemmes af 0.025-0.0004t, da N altid er positiv. Tænk så på sammenhængen mellem fortegnet af dN/dt og grafens monotoniforhold. Hvordan ser grafen ud når dN/dt er positiv, og hvordan ser den ud når dN/dt er negativ? Jeg vil ikke give dig svaret med det samme. Prøv først selv, og vend tilbage, hvis du støder på problemer.

PS: Differentialligningen løses nemt med separation af de variable, men jeg forstår, at det lærer man ikke om i gymnasiet mere. Det er heller ikke nødvendigt at løse ligningen for at besvare spørgsmålet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Jeg glemte at sige, at til et tidspunkt t er dN/dt = 0. Hvornår indfinder dette tidspunkt sig, og hvad gælder der om grafen her? Når jeg taler om grafen, så er det grafen for N(t), dvs. løsningen til differentialligningen.

Svar #3
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

hvis dN/dt er positiv vil grafen vel stige og omvendt hvis den er negativ. Hvordan kan man finde ud af det.

Brugbart svar (1)

Svar #4
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Netop, grafen stiger når dN/dt > 0. Hvornår er så dN/dt positiv? Jo, ved at løse uligheden 0.025-0.0004t > 0, finder du ud af dette. Grafen antager så sit maksimum for t = ?, hvor ? er løsning til ligningen 0.025-0.0004t=0. Jeg tror du klarer resten nu.

Svar #5
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

er det rigtigt at t er 62,5 når dN/dt = 0. ?

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Ja, det er korrekt. Kan du nu besvare spørgsmålet i opgaven? Lad mig høre.

Svar #7
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

ved ikke hvordan jeg skal skrive monotoniintervallerne men er det så ikke noget med:

N er voksende )uendelig, 62,5) hvor den derefter aftag (62,5, uendelig(

Brugbart svar (1)

Svar #8
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Jo, det er (næsten) korrekt. Folketallet vokser for t € [0,62.5[ og aftager for t € ]62.5,uendelig[. For t = 62.5 er folketallet størst.

Svar #9
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

eller sagt på en anden måde

dn/dt bliver positiv når t62,5 bliver den negativ

er det ikke rigtigt?

Svar #10
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

Okay..

godt være jeg spørg dumt men hvorfor er det 0 i der hvor den vokser?

Brugbart svar (1)

Svar #11
28. februar 2008 af sigmund (Slettet)

Jo, det er rigtigt, at "dn/dt bliver positiv når t62,5 bliver den negativ". Og hvorfor 0 er i "der hvor den vokser"? Tja, det er fordi problemets natur foreskriver, at den må starte til t=0. Det er en befolkningsudvikling med tid, og vi bruger ligningen til at fremskrive denne udvikling. Derfor starter vi i t=0. Jeg håber dette giver mening. Ellers ville jeg mene, at det står i opgaven (gerne lige efter ligningen), at t>=0.

Svar #12
28. februar 2008 af milsen1989 (Slettet)

mange tak for hjælpen:)

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.