Matematik
Svær differentialligning 8.011
Jeg har siddet og bokset med denne opgave i et godt stykke tid nu.
Og jeg synes at jeg er kørt fast.
Opgaveteksten er at nogle af løsningerne til
differentialligningen
y'- 2y = 4x^2 - 4x
har et el. flere ekstremumspunkter og der skal så
a) bestemmes en ligning for den kurve,
som disse ekstremumspunkter vil tilhøre.
b)
Det jeg har fundet ud af indtil nu er
er at
f(x) = ce^(2x) - 2x^2
og at
f'(x) = 2ce^(2x) - 4x
Ved at betragte nogle grafer kan jeg se at:
for c<=0 så har f ét ekstremumspunkt.
for 0<c<1/e så har f 2 ekstremumspunkter.
for c>0 så har f ingen ekstremumspunkter
for c=1/e så har f ét ekstremumspunkt.
Jeg kunne godt tænke mig at komme frem til en lidt mere stringent matematisk måde at løse disse to problemer på.
Hvad er det for en kurve der efterspørges i a) ?
Og hvordan findes svaret til b) ?
Hæftet med matematikopgaverne kan findes her.
Opgave 8.011 står på side 39 øverst.
Venligst
faeces.
Svar #1
04. april 2008 af y06svale (Slettet)
y'- 2y = 4x^2 - 4x <=> y'=4x^2+2y
nu har du ligning du kan bruge til noget og svaret på opg. a)
opgaven ber' ikke om at du finder ekstremumspunkterne, men en metode at gøre det på er at sætte f.eks y' i dit udtryk lig 0 og så isolere x:
0 = 4x^2 - 4x+2y
nu får du to værdier for x (gider ik lige regne disse værdier ud, så vi leger de er x=-2 og x=2). nu laver du en monotonilinje, den ser sådan ud:
--------|---------------------|----------->
-2 2
og nu undersøger du med værdier under og over -2 og 2, er værdierne negative laver du en pil der peger ned ad og omvendt hvis pos. når pilene danner en top er det et maksimum og dannder de en dal er det et minimum...
håber du forstod det ;)
hilsen Lis
Svar #2
05. april 2008 af ibibib (Slettet)
y'- 2y = 4x^2 - 4x
- 2y = 4x^2 - 4x
y = -2x^2 + 2x
en ligning for den kurve, som disse ekstremumspunkter vil tilhøre.
b) y '=0 og y=0. Fortsæt selv.
Svar #3
05. april 2008 af faeces (Slettet)
Det bringer mig videre.
Ang b)
Så har vi altså at
ekstremumspunkterne følger kurven
med ligningen
y = -2x^2 + 2x
Det betyder så at
Da den løsning jeg søger har graf der
tangerer x-aksen i et punkt med positiv
førstekoordinat, må y'=0 i dette punkt.
Dvs jeg skal løse ligningen
-2x^2 + 2x = 0
da jo ovenstående var et udtryk for løsningens
ekstremumspunkter (her er f'(x)=0).
Således er
-2x^2 + 2x = 0
<=>
-2x(x-1) = 0
<=>
x=0 v x=1
Da kun løsningen x=1 er positiv har grafen for f
vandret tangent her og f(1)=0.
Jeg havde allerede bestemt samtlige løsninger til
differentialligningen til, at være
f(x) = c*e^(2x)-2x^2
Jeg indsætter de to værdier (y=0 og x=1) heri:
f(1) = 0
<=>
0 = c*e^(2*1)-2*1^2
<=>
0 = c*e^2 - 2
<=>
c*e^2 = 2
<=>
c = 2/e^2
Således vil den partikulære løsning være
f(x) = (2/e^2)*e^(2x)-2x^2
f(x) = 2e^(2x-2) - 2x^2
Er det korrekt?
faeces
Svar #5
30. marts 2013 af over9000 (Slettet)
Jeg ved ikke om det er muligt at sætte gang i den her tråd igen, men:
i #1 og #2 - hvordan vil i løse én ligning med to ubekendte? Helt praktisk, hvordan får I det så til at gå op?
Skriv et svar til: Svær differentialligning 8.011
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.