Ligning

Jeg kan umiddelbart ikke se nogen "pæn" metode (udover traditionel løsning af tredjegradsligninger) - men v.h.a. matematikprogrammet Maple fandt jeg ud af, at x=2 var en rod i ligningen. Hvis du kender til polynomiers division, kan du bruge dette - og herefter løse en andengradsligning. Hvis du ikke gider, er de øvrige rødder hhv.

x=-1+sqrt(118) og x=-1-sqrt(118)

Du kan læse mere om tredjegradsligningen på:

http://mathworld.wolfram.com/CubicEquation.html

Du kan bruge logaritmen til at løse din ligning.
Skriv bare hvis nærmere oplysing ønskes.

Kør følgende gennem LaTeX for at få det til at se nogenlunde læseligt ud: (en windows distribution af LaTeX kan hentes fra http://www.miktex.org, og ja, jeg ved godt, at det fylder af pommern til, at det er svært, at der ikke er nogen GUI, og masse andet brok, men der er tale om et rigtig godt stykke software, som kan sætte praktisk talt hvad som helst matematik op. Hvis du bruger linux, så kommer tetex, som er en anden TeX distribution, formentlig med. De fleste distributioner klassificerer det som software til brug indenfor "publishing")

\\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\\usepackage[danish]{babel}
\\usepackage[latin1]{inputenc}
\\usepackage{amsthm}
\\usepackage{amsmath} %formentlig overkill, men det skader ikke
\\usepackage{amssymb} %sikkert også overkill

\\begin{document}
Den nemmeste måde må være at anvende den rationelle rodtest, som siger følgende:
\\begin{theorem}
hvis og kun hvis et polynomium $a_n x^n + \\cdots + a_0$ har en rationel rod, $\\frac{p}{q}$, så gælder at $p|a_n$ og $q|a_0$.
\\end{theorem}
Beviset for denne sætning overlades til læseren. Det er ikke vanskeligt.
Hvordan kan dette så bruges til at finde rødder i et vilkårligt polynomium? Ganske enkelt! Hvis man har et polynomium $b_n y^n + \\cdots + b_0$, og ønsker at finde rationelle rødder, så finder man samtlige divisorer i $b_n$ og i $b_0$. Herefter konstruerer man brøker bestående af disse tal, som sætningen foreskriver, og tester, om de er rod i ligningen. Der kan være ganske mange, men det er mekanisk arbejde, som ikke kræver så meget igen. Når man så har fundet én rod, kan man lave polynomiers division og så bruge sætningen igen, eller hvis man har et andengradspolynomium tilbage, kan man bare bruge den simple ligning for dem. Hvis man hverken ender op med noget, som er af højere grad end 2 og sætningen her ikke kan bruges, så er løbet næsten kørt. Hvis det, der tilbage f.eks. er af formen $ax^{2n}+bx^n+c$, så kan man lave en substitution, men ellers, så er der ikke så meget at gøre.

For lige til sidst at gøre det helt klart, så hedder det her \\LaTeX{}, den typesetting engine, det bruger, hedder \\TeX{}, og det udtales ``tech´´, hvor ch'et udtales som i det tyske ach eller det skotske loch.
\\end{document}

PS: Det her blev skrevet på en computer uden en TeX-distribution, så, der <em>kan</em> forekomme et par fejl, eftersom det er et stykke tid siden jeg sidst har anvendt LaTeX. Det er stadig nemmere at skrive i hånden, når det ikke er mere end et par sider.

Jeg har oversat koden til html, pdf og postscript:

http://www.ifa.au.dk/~f992903/studi/3grad/index.html

http://www.ifa.au.dk/~f992903/studi/3grad/3grad.pdf

http://www.ifa.au.dk/~f992903/studi/3grad/3grad.ps

Jeg har indsat

\
ewtheorem{theorem}{Sætning}

i preamble men ellers brugt den originale kode.

Undskyld, men er det ikke lidt overkill at kaste sig ud i sådanne udskejelser.
I ovenstående tilfælde kan sætningen heldigvis bruges, men det er også kun fordi, der er tale om en tredjegradsligning, der har én rationel rod.
Sætningen er ikke meget bevendt i det generelle tilfælde, dels fordi den forudsætter, at polynomiet $f(x) \\in \\mathbb{Z}[x]$, dels fordi rationelle rødder er en sjældenhed - og slutteligt fordi ligninger af grad $n \\geq 5$ generelt er uløselige i radikaler.
Men dette er naturligvis betragtninger udfra en generel, teoretisk vinkel, for i mange opgaver hænder man netop at have pæne rødder.

tror i han kom videre dengang?

han er sikkert professor idag