Matematik
Matematisk argumentation
05. maj 2008 af
llqi (Slettet)
Argumenter på flere måder for at 1+2+3+..+n=n(n+1)/2????
Jeg kan finde på en måde at løse dette på ved induktionsbevis, er der nogen der ved andre måder at løse det på. Måske refere til hvor jeg kan læse mere om det??
Tak på forhånd!
Jeg kan finde på en måde at løse dette på ved induktionsbevis, er der nogen der ved andre måder at løse det på. Måske refere til hvor jeg kan læse mere om det??
Tak på forhånd!
Svar #1
05. maj 2008 af mathon
n er lige:
1+2+3+..+n
bemærk:
(1+n) = (2+(n-1)) = (3+(n-2))... = (m+(n-(m-1)))...
disse summer forekommer (n/2) gange
hvorfor
S_total = (n/2)*(1+n) = (n/2)*(n+1)
n er ulige:
1+2+3+..+n
bemærk:
(1+n) = (2+(n-1)) = (3+(n-2))... = (m+(n-(m-1)))...
disse summer forekommer ((n-1)/2) gange
hvorfor
summen af alle led
PÅ NÆR det MIDTERSTE er = ((n-1)/2)*(1+n) = ((n-1)/2)*(n+1)
det midterste led er = (n+1)/2
S_total = ((n-1)/2)*(n+1) + (n+1)/2 = (1/2)*[(n-1)+1]*(n+1) = (n/2)*(n+1)
1+2+3+..+n
bemærk:
(1+n) = (2+(n-1)) = (3+(n-2))... = (m+(n-(m-1)))...
disse summer forekommer (n/2) gange
hvorfor
S_total = (n/2)*(1+n) = (n/2)*(n+1)
n er ulige:
1+2+3+..+n
bemærk:
(1+n) = (2+(n-1)) = (3+(n-2))... = (m+(n-(m-1)))...
disse summer forekommer ((n-1)/2) gange
hvorfor
summen af alle led
PÅ NÆR det MIDTERSTE er = ((n-1)/2)*(1+n) = ((n-1)/2)*(n+1)
det midterste led er = (n+1)/2
S_total = ((n-1)/2)*(n+1) + (n+1)/2 = (1/2)*[(n-1)+1]*(n+1) = (n/2)*(n+1)
Svar #3
05. maj 2008 af Benjamin. (Slettet)
Et andet bevis:
S_n = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
eller skrevet på en anden måde:
S_n = n + (n-1) + ... + 3 + 2 + 1
Læg disse ovenstående sammen (led for led vel at mærke):
2S_n = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
Idet højresiden indeholder n led af n+1 er:
2S_n = n(n+1)
Derfor:
S_n = n(n+1)/2
S_n = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n
eller skrevet på en anden måde:
S_n = n + (n-1) + ... + 3 + 2 + 1
Læg disse ovenstående sammen (led for led vel at mærke):
2S_n = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
Idet højresiden indeholder n led af n+1 er:
2S_n = n(n+1)
Derfor:
S_n = n(n+1)/2
Svar #4
05. maj 2008 af Benjamin. (Slettet)
I øvrigt kaldes formlen blandt nogle blot for Gauss' formel eller Gauss formel for summer af heltal.
Du kan se beviset her sammen med beviser for nogle andre summer:
http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math101/notes/integration/sums.html
Du kan se beviset her sammen med beviser for nogle andre summer:
http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math101/notes/integration/sums.html
Skriv et svar til: Matematisk argumentation
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.