(TP) Vieta Jumping a la grisehønen

"Den gode dreng, grisehønen.."
:)

De ser da interessante ud. Lægger da mit svar ud senere. (Hvis jeg ellers kan finde ud af dem:O)

Jeg bakser selv lidt med opgaverne - det ser ud til, at jeg har overset noget... Lad mig lige justere dem først!

Jeg har bakset færdig med opgave 2 - den kan løses vha. metoden, men den er særdeles vanskelig! Opgave 1 har stadig det problem, jeg havde overset, som jeg endnu ikke har været i stand til at rette...

Her er mit svar så :) (Til opg. 2)

>>Officielt gennemtjekket af tal-pædagog<<

(x^2+y^2)/(3xy-1) = k <=>
x^2 - 3xyk + Y^2 + k = 0

Vi vil kigge på parret (X,Y) med mindst x+y. Og vi får at hvis (X,Y) findes, så må et andet par også findes:
t^2-3Yk*t+Y^2+k = 0 <=>
t1 = X
t2 = 3Yk-X = (Y^2+k)/X

Fra venstresiden ses at t2 er et helt tal, og fra højresiden at det er positivt.

Hvis t2 != Y har vi at
t2 >= t1 <=>
Y^2+k >= X^2 <=>
Y^2 + (X^2+Y^2)/(3XY-1) >= X^2 <=>
3XY^3 - Y^2 + X^2 + Y^2 >= 3X^3Y - X^2 <=>
3Y^3 + 2X >= 3X^2Y <=>
3Y^3 >= (3XY-2)X >= (3(Y+1)Y-2)Y <=>
3Y^2 >= 3Y^2+3Y-2 <=>
2 >= 3Y. Modstrid. Altså har vi enten at t2 = Y eller at der ikke findes nogen løsninger hvis X > Y.(Det gør der dog. (x,y) = (2,1))

Men det betyder at alle par (X,Y) med X>Y har samme rod som (X,Y) med X=Y. Det ses let at det eneste par hvor X=Y er X=Y=1, hvor k=1. Det eneste par med X>Y er da X=3-1=2, så vi skal blot kigge på:
(1,1) ; (1,2) ; (2,1)

I alle eksemplerne giver k=1. QED

Og jeg tilføjer lige, at grisehønens svar er såvel korrekt som imponerende! Jeg nåede selv at få lidt sved på panden over opgaven (specielt da jeg var bange for, der var en fejl i den).